高二数学平面向量知识点总结
【简介】感谢网友“momoko”参与投稿，今天小编在这给大家整理了高二数学平面向量知识点总结（共12篇），我们一起来阅读吧!
篇1：高二数学平面向量知识点总结
高二数学平面向量知识点总结
平面向量是在二维平面内既有方向又有大小的量，物理学中叫也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量。高二数学平面向量知识点总结，我们来看看下文。
1．有向线段的定义
线段的端点A为始点，端点B为终点，这时线段AB具有射线AB的方向.像这样，具有方向的线段叫做有向线段.记作：.
2.有向线段的三要素：有向线段包含三个要素：始点、方向和长度.
3.向量的定义：(1)具有大小和方向的量叫做向量.向量有两个要素：大小和方向.
(2)向量的表示方法：①用两个大写的英文字母及前头表示，有向线段来表示向量时，也称其为向量.书写时，则用带箭头的小写字母，，，来表示.
4.向量的长度（模）：如果向量=，那么有向线段的长度表示向量的大小，叫做向量的长度(或模)，记作||.
5．相等向量：如果两个向量和的方向相同且长度相等，则称和相等，记作：=.
6．相反向量：与向量等长且方向相反的向量叫做的相反向量，记作：-.
7．向量平行（共线）：如果两个向量方向相同或相反，则称这两个向量平行，向量平行也称向量共线.向量平行于向量，记作//.规定： //.
8．零向量：长度等于零的向量叫做零向量，记作：.零向量的方向是不确定的，是任意的.由于零向量方向的特殊性，解答问题时，一定要看清题目中是零向量还是非零向量.
9．单位向量：长度等于1的向量叫做单位向量.
10．向量的加法运算：
(1)向量加法的三角形法则
11．向量的减法运算
12、两向量的和差的模与两向量模的和差之间的关系
对于任意两个向量，，都有|||-|||||+||.
13．数乘向量的定义：
实数和向量的乘积是一个向量，这种运算叫做数乘向量，记作.
向量的长度与方向规定为：(1)||=|
(2)当0时，与方向相同;当0时，与方向相反.
(3)当=0时，当=时，=.
14．数乘向量的运算律：(1))= (结合律)
(2)(+) =+(第一分配律)(3)(+)=+.(第二分配律)
15．平行向量基本定理
如果向量，则//的充分必要条件是，存在唯一的实数，使得=.
如果与不共线，若m=n，则m=n=0.
16．非零向量的单位向量：非零向量的单位向量是指与同向的.单位向量，通常记作.
=||，即==(，)
17．线段中点的向量表达式
点M是线段AB的中点，O是平面内任意一点，则=(+).
18．平面向量的直角坐标运算：如果=(a1，a2)，=(b1，b2)，则
+=(a1+b1，a2+b2);-=(a1-b1，a2-b2);=(a1，a2).
19．利用两点表示向量：如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=(x2-x1，y2-y1).
20.两向量相等和平行的条件：若=(a1，a2)，=(b1，b2) ，则
=a1=b1且a2=b2.
//a1b2-a2b1=0.特别地，如果b10，b20，则// =.
21．向量的长度公式：若=(a1，a2)，则||=.
22．平面上两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||=.
23．中点公式
若点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，点M(x，y)是线段AB的中点，则x=，y= .
24．重心公式
在△ABC中，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，A(x3，y3)，，△ABC的重心为G(x，y)，则
x=，y=
25．（1)两个向量夹角的取值范围是[0，p]，即0，p.
当=0时，与同向;当=p时，与反向
当= 时，与垂直，记作.
(3)向量的内积定义：=||||cos.
其中，||cos叫做向量在向量方向上的正射影的数量.规定=0.
(4)内积的几何意义
与的内积的几何意义是的模与在方向上的正射影的数量，或的模与在 方向上的正射影数量的乘积
当0，90时，0;=90时，
90时，0.
26．向量内积的运算律：
(1)交换率
(2)数乘结合律
(3)分配律
(4)不满足组合律
27．向量内积满足乘法公式
29．向量内积的应用：
篇2：高一数学平面向量知识点总结
向量：既有大小，又有方向的量.
数量：只有大小，没有方向的量.
有向线段的三要素：起点、方向、长度.
零向量：长度为的向量.
单位向量：长度等于个单位的向量.
相等向量：长度相等且方向相同的向量
&向量的运算
加法运算
AB+BC=AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。
已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。
对于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。
|a+b|≤|a|+|b|。
向量的加法满足所有的加法运算定律。
减法运算
与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。
(1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。
数乘运算
实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，|λa|=|λ||a|，当λ > 0时，λa的方向和a的方向相同，当λ< 0时，λa的方向和a的方向相反，当λ = 0时，λa = 0。
设λ、μ是实数，那么：(1)(λμ)a = λ(μa)(2)(λμ)a = λa μa(3)λ(a ± b) = λa ±λb(4)(-λ)a =-(λa) = λ(-a)。
向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。
向量的数量积
已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cos θ叫做a与b的数量积或内积，记作a?b，θ是a与b的夹角，|a|cos θ(|b|cos θ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影。零向量与任意向量的数量积为0。
a.b的几何意义：数量积a.b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
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高一数学知识点
1、柱、锥、台、球的结构特征
(1)棱柱：
定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱。
几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
(2)棱锥
定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等
表示：用各顶点字母，如五棱锥
几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
(3)棱台：
定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等
表示：用各顶点字母，如五棱台
几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点
(4)圆柱：
定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。
几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。
(5)圆锥：
定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体。
几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。
(6)圆台：
定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分
几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。
(7)球体：
定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体
几何特征：①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
2、空间几何体的三视图
定义三视图：正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、俯视图(从上向下)
注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度;
俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度;
侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。
3、空间几何体的直观图——斜二测画法
斜二测画法特点：
①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变;
②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。
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高一数学学习方法
认真听课做笔记
在课堂教学中培养好的听课习惯是很重要的。当然听是主要的，听能使注意力集中，要把老师讲的关键性部分听懂、听会。听的时候注意思考、分析问题，但是光听不记，或光记不听必然顾此失彼，课堂效益低下，因此应适当地有目的性的记好笔记，领会课上老师的主要精神与意图。科学的记笔记可以提高45分钟课堂效益。
把握教材去理解
要提高数学能力，当然是通过课堂来提高，要充分利用好课堂这块阵地，学习高一数学的过程是活的，老师教学的对象也是活的，都在随着教学过程的发展而变化，尤其是当老师注重能力教学的时候，教材是反映不出来的。数学能力是随着知识的发生而同时形成的，无论是形成一个概念，掌握一条法则，会做一个习题，都应该从不同的能力角度来培养和提高。课堂上通过老师的教学，理解所学内容在教材中的地位，弄清与前后知识的联系等，只有把握住教材，才能掌握学习的主动。
提高思维敏捷力
如果数学课没有一定的速度，那是一种无效学习。慢腾腾的学习是训练不出思维速度，训练不出思维的敏捷性，是培养不出数学能力的，这就要求在数学学习中一定要有节奏，这样久而久之，思维的敏捷性和数学能力会逐步提高。
避免遗留问题
在数学课堂中，老师一般少不了提问与板演，有时还伴随着问题讨论，因此可以听到许多的信息，这些问题是很有价值的。对于那些典型问题，带有普遍性的问题都必须及时解决，不能把问题的结症遗留下来，甚至沉淀下来，有价值的问题要及时抓住，遗留问题要有针对性地补，注重实效。
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篇3：高考平面向量知识点总结
高考平面向量知识点总结
1．基本概念：
向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。
2． 加法与减法的代数运算：
(1)若a=（x1,y1 ）,b=（x2,y2 ）则a b=（x1+x2,y1+y2 ）．
向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。
向量加法有如下规律： ＋ = ＋ (交换律); +( +c)=( + )+c （结合律）;
3．实数与向量的`积：实数 与向量 的积是一个向量。
(1)｜ ｜=｜ ｜｜ ｜;
(2) 当 a＞0时， 与a的方向相同；当a＜0时， 与a的方向相反；当 a=0时，a=0．
两个向量共线的充要条件：
(1) 向量b与非零向量 共线的充要条件是有且仅有一个实数 ，使得b= ．
(2) 若 =（ ）,b=（ ）则 ‖b ．
平面向量基本定理：
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ， ，使得 = e1+ e2．
4．P分有向线段 所成的比：
设P1、P2是直线 上两个点，点P是 上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数 使 = ， 叫做点P分有向线段 所成的比。
当点P在线段 上时， ＞0；当点P在线段 或 的延长线上时， ＜0；
分点坐标公式：若 = ； 的坐标分别为（ ）,（ ）,（ ）；则 （ －1）， 中点坐标公式： ．
5． 向量的数量积：
（1）．向量的夹角：
已知两个非零向量 与b，作 = , =b,则AOB= （ ）叫做向量 与b的夹角。
（2）．两个向量的数量积：
已知两个非零向量 与b，它们的夹角为 ，则 b=｜ ｜｜b｜cos ．
其中｜b｜cos 称为向量b在 方向上的投影．
（3）．向量的数量积的性质：
若 =（ ）,b=（ ）则e = e=｜ ｜cos (e为单位向量);
b b=0 （ ，b为非零向量）;｜ ｜= ;
cos = = ．
(4) ．向量的数量积的运算律：
b=b( )b= ( b)= ( b);( ＋b)c= c+bc．
6.主要思想与方法：
本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。
篇4：数学必修四知识点总结平面向量
数学必修四知识点总结平面向量
1、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(_+_'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：
交换律：a+b=b+a;
结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0
AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”
a=(_,y) b=(_',y') 则 a-b=(_-_',y-y').
3、数乘向量
实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。
当λ>0时，λa与a同方向;
当λ<0时，λa与a反方向;
当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣>1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;
当∣λ∣<1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。
向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.
数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
4、向量的的数量积
定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a•b.若a、b不共线,则a•b=|a|•|b|•cos〈a,b〉;若a、b共线,则a•b=+-∣a∣∣b∣.
向量的数量积的坐标表示：a•b=_•_'+y•y'.
向量的数量积的运算律
a•b=b•a(交换律);
(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律);
(a+b)•c=a•c+b•c(分配律);
向量的数量积的性质
a•a=|a|的平方.
a⊥b 〈=〉a•b=0.
|a•b|≤|a|•|b|.
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的数量积不满足结合律,即：(a•b)•c≠a•(b•c);例如：(a•b)^2≠a^2•b^2.
2、向量的数量积不满足消去律,即：由 a•b=a•c (a≠0),推不出 b=c.
3、|a•b|≠|a|•|b|
4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.
5、向量的向量积
定义：两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a,b〉;a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.
向量的向量积性质：
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.
a×a=0.
a‖b〈=〉a×b=0.
向量的向量积运算律
a×b=-b×a;
(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);
(a+b)×c=a×c+b×c.
注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的.
6、向量的三角形不等式
1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;
① 当且仅当a、b反向时,左边取等号;
② 当且仅当a、b同向时,右边取等号.
2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣.
① 当且仅当a、b同向时,左边取等号;
② 当且仅当a、b反向时,右边取等号.
7、定比分点
定比分点公式(向量P1P=λ•向量PP2)
设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点.则存在一个实数 λ,使 向量P1P=λ•向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比.
若P1(_1,y1),P2(_2,y2),P(_,y),则有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)
_=(_1+λ_2)/(1+λ),
y=(y1+λy2)/(1+λ).(定比分点坐标公式)
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
8、三点共线定理
若OC=λOA+μOB,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线
三角形重心判断式
在△ABC中，若GA+GB+GC=O,则G为△ABC的重心
[编辑本段]向量共线的重要条件
若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。
a//b的重要条件是 _y'-_'y=0。
零向量0平行于任何向量。
[编辑本段]向量垂直的充要条件
a⊥b的充要条件是a•b=0。
a⊥b的充要条件是__'+yy'=0。
零向量0垂直于任何向量.
数学二元一次方程组知识点
(一)定义：含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程。
(二)二元一次方程组的解法
(1)代入法
由一个二次方程和一个一次方程所组成的方程组通常用代入法来解，这是基本的消元降次方法。
(2)因式分解法
在二元二次方程组中，至少有一个方程可以分解时，可采用因式分解法通过消元降次来解。
(3)配方法
将一个式子，或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和。
(4)韦达定理法
通过韦达定理的逆定理，可以利用两数的和积关系构造一元二次方程。
(5)消常数项法
当方程组的两个方程都缺一次项时，可用消去常数项的方法解。
如何快速学好数学
适当多做题，养成良好的解题习惯。
要想学好数学，多做题目是难免的，熟悉掌握各种题型的解题思路。刚开始要从基础题入手，以课本上的习题为准，反复练习打好基础，再找一些课外的习题，以帮助开拓思路，提高自己的分析、解决能力，掌握一般的解题规律。
对于一些易错题，可备有错题集，写出自己的解题思路和正确的解题过程两者一起比较找出自己的错误所在，以便及时更正。
在平时要养成良好的解题习惯。让自己的精力高度集中，使大脑兴奋，思维敏捷，能够进入最佳状态，在考试中能运用自如。实践证明：越到关键时候，你所表现的解题习惯与平时练习无异。如果平时解题时随便、粗心、大意等，往往在大考中充分暴露，故在平时养成良好的解题习惯是非常重要的。
调整心态，正确对待考试。
首先，应把主要精力放在基础知识、基本技能、基本方法这三个方面上，因为每次考试占绝大部分的也是基础性的题目，而对于那些难题及综合性较强的题目作为调剂，认真思考，尽量让自己理出头绪，做完题后要总结归纳。
调整好自己的心态，使自己在任何时候镇静，思路有条不紊，克服浮躁的情绪。特别是对自己要有信心，永远鼓励自己，除了自己，谁也不能把我打倒，要有自己不垮，谁也不能打垮我的自豪感。
在考试前要做好准备，练练常规题，把自己的思路展开，切忌考前去在保证正确率的前提下提高解题速度。对于一些容易的基础题要有十二分把握拿全分;对于一些难题，也要尽量拿分，考试中要学会尝试得分，使自己的水平正常甚至超常发挥。
由此可见，要把数学学好就得找到适合自己的学习方法，了解数学学科的特点，使自己进入数学的广阔天地中去。
篇5：数学向量知识点总结
数学向量知识点总结
考点一：向量的概念、向量的基本定理
【内容解读】了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念，理解向量的几何表示，掌握平面向量的基本定理。
注意对向量概念的理解，向量是可以自由移动的，平移后所得向量与原向量相同;两个向量无法比较大小，它们的模可比较大小。
考点二：向量的运算
【内容解读】向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的加减运算;掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会判断两个向量的平行关系;掌握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积判断两个平面向量的垂直关系。
【命题规律】命题形式主要以选择、填空题型出现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合。
考点三：定比分点
【内容解读】掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练应用，求点分有向线段所成比时，可借助图形来帮助理解。
【命题规律】重点考查定义和公式，主要以选择题或填空题型出现，难度一般。由于向量应用的广泛性，经常也会与三角函数，解析几何一并考查，若出现在解答题中，难度以中档题为主，偶尔也以难度略高的题目。
考点四：向量与三角函数的综合问题
【内容解读】向量与三角函数的综合问题是高考经常出现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，达到了高考中试题的覆盖面的要求。
【命题规律】命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易题。
考点五：平面向量与函数问题的交汇
【内容解读】平面向量与函数交汇的问题，主要是向量与二次函数结合的问题为主，要注意自变量的取值范围。
【命题规律】命题多以解答题为主，属中档题。
考点六：平面向量在平面几何中的应用
【内容解读】向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示.在引入向量的坐标表示后，使向量之间的运算代数化，这样就可以将“形”和“数”紧密地结合在一起.因此，许多平面几何问题中较难解决的问题，都可以转化为大家熟悉的代数运算的论证.也就是把平面几何图形放到适当的坐标系中，赋予几何图形有关点与平面向量具体的坐标，这样将有关平面几何问题转化为相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.
【命题规律】命题多以解答题为主，属中等偏难的试题。
平面向量
戴氏航天学校老师总结加法与减法的代数运算：
(1)若a=(x1,y1 ),b=(x2,y2 )则a b=(x1+x2,y1+y2 ).
向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。
戴氏航天学校老师总结向量加法有如下规律：+= +(交换律); +( +c)=( + )+c (结合律);
两个向量共线的充要条件：
(1) 向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b= .
(2) 若=,b=()则‖b .
平面向量基本定理：
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，戴氏航天学校老师提醒有且只 有一对实数，，使得= e1+ e2
篇6：高二数学知识点复习：向量
什么是向量
在数学中，向量(也称为欧几里得向量、几何向量、矢量)，指具有大小(magnitude)和方向的量。
它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向;线段长度：代表向量的大小。
与向量对应的量叫做数量(物理学中称标量)，数量(或标量)只有大小，没有方向。
向量垂直公式
a,b是两个向量
a=(a1,a2) b=(b1,b2)
a//b：a1/b1=a2/b2或a1b1=a2b2或a=λb,λ是一个常数
a垂直b：a1b1+a2b2=0
证明：
①几何角度：
向量A (x1,y1),长度 L1 =√(x1²+y1²)
向量B (x2,y2),长度 L2 =√(x2²+y2²)
(x1,y1)到(x2,y2)的距离：D=√[(x1 - x2)² + (y1 - y2)²]
两个向量垂直,根据勾股定理：L1² + L2² = D²
∴ (x1²+y1²) + (x2²+y2²) = (x1 - x2)² + (y1 - y2)²
∴ x1² + y1² + x2² + y2² = x1² -2x1x2 + x2² + y1² - 2y1y2 + y2²
∴ 0 = -2x1x2 - 2y1y2
∴ x1x2 + y1y2 = 0
②扩展到三维角度：
x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0,
那么向量(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)垂直
综述，对任意维度的两个向量L1,L2垂直的充分必要条件是:L1×L2=0 成立。
平面向量加法公式
已知向量AB、BC，再作向量AC，则向量AC叫做AB、BC的和，记作AB+BC
即有：AB+BC=AC。
用坐标表示时，显然有：AB+BC=(x2-x1,y2-y1)+(x3-x2,y3-y2)=(x2-x1+x3-x2,y2-y1+y3-y2)=(x3-x1,y3-y1)=AC。
这就是说，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差
三角形法则：AB+BC=AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则，简记为：首尾相连、连接首尾、指向终点。
四边形法则：已知两个从同一点A出发的两个向量AC、AB，以AC、AB为邻边作平行四边形ACDB，则以A为起点的对角线AD就是向量AC、AB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则，简记为：共起点 对角连。
对于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。
向量的加法满足所有的加法运算定律，如：交换律、结合律。
平面向量减法公式
AB-AC=CB，这种计算法则叫做向量减法的三角形法则
简记为：共起点、连中点、指被减。
-(-a)=a;a+(-a)=(-a)+a=0;a-b=a+(-b)。
平面向量数乘公式
实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa。
当λ>0时，λa的方向和a的方向相同，
当λ<0时，λa的方向和a的方向相反，
当λ = 0时，λa=0。
用坐标表示的情况下有：λAB=λ(x2-x1,y2-y1)=(λx2-λx1,λy2-λy1)
设λ、μ是实数，那么满足如下运算性质：
(λμ)a= λ(μa)
(λ + μ)a= λa+ μa
λ(a±b) = λa± λb
(-λ)a=-(λa) = λ(-a)
|λa|=|λ||a|
平面向量数量积公式
已知两个非零向量a、b，那么a·b=|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)叫做a与b的数量积或内积，记作a·b。
零向量与任意向量的数量积为0。数量积a·b的几何意义是：a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积。
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=x1·x2+y1·y2
篇7：数学必修四第二章平面向量知识点
数学必修四第二章平面向量知识点
1.平面向量基本概念
有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作 或AB;
向量的模：有向线段AB的长度叫做向量的模，记作|AB|;
零向量：长度等于0的向量叫做零向量，记作 或0。(注意粗体格式，实数“0”和向量“0”是有区别的，书写时要在实数“0”上加箭头，以免混淆);
相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量;
平行向量(共线向量)：两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量，零向量与任意向量平行，即0//a;
单位向量：模等于1个单位长度的向量叫做单位向量，通常用e表示，平行于坐标轴的单位向量习惯上分别用i、j表示。
相反向量：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。
2.平面向量运算
加法与减法的代数运算：
(1)若a=(x1,y1 ),b=(x2,y2 )则a b=(x1+x2,y1+y2 ).
向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。
向量加法有如下规律： + = + (交换律); +( +c)=( + )+c (结合律);
实数与向量的积：实数 与向量 的积是一个向量。
(1)| |=| |·| |;
(2) 当 a>0时， 与a的方向相同;当a<0时， 与a的方向相反;当 a=0时，a=0.
两个向量共线的充要条件：
(1) 向量b与非零向量 共线的充要条件是有且仅有一个实数 ，使得b= .
(2) 若 =( ),b=( )则 ‖b .
3.平面向量基本定理
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ， ，使得 = e1+ e2.
4.平面向量有关推论
三角形ABC内一点O，OA·OB=OB·OC=OC·OA，则点O是三角形的垂心。
若O是三角形ABC的外心,点M满足OA+OB+OC=OM，则M是三角形ABC的垂心。
若O和三角形ABC共面，且满足OA+OB+OC=0，则O是三角形ABC的重心。
三点共线：三点A,B,C共线推出OA=μOB+aOC(μ+a=1)
数学导数知识点
1.导数的意义：曲线在该点处的切线的斜率(几何意义)、瞬时速度、边际成本(成本为因变量、产量为自变量的函数的导数，C为常数)
2.多项式函数的导数与函数的单调性
在一个区间上(个别点取等号)在此区间上为增函数.
在一个区间上(个别点取等号)在此区间上为减函数.
3.导数与极值、导数与最值：
(1)函数处有且“左正右负”在处取极大值;
函数在处有且左负右正”在处取极小值.
注意：①在处有是函数在处取极值的必要非充分条件.
②求函数极值的方法：先找定义域，再求导，找出定义域的分界点，列表求出极值.特别是给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑，又要考虑验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记.
③单调性与最值(极值)的研究要注意列表!
(2)函数在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”
函数 在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”;
注意：利用导数求最值的步骤：先找定义域 再求出导数为0及导数不存在的的点，然后比较定义域的端点值和导数为0的点对应函数值的大小，其中最大的就是最大值，最小就为最小。
数学有理数知识点
(一)定义
有理数为整数(正整数、0、负整数)和分数的统称，正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。
(二)有理数的性质
(1)顺序性
(2)封闭性
(3)稠密性
(三)有理数的加法运算法则
1.同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加。
2.异号两数相加，若绝对值相等则互为相反数的两数和为0;若绝对值不相等，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
3.互为相反数的两数相加得0。
4.一个数同0相加仍得这个数。
5.互为相反数的两个数，可以先相加。
6.符号相同的数可以先相加。
7.分母相同的数可以先相加。
8.几个数相加能得整数的可以先相加。
9.减去一个数，等于加上这个数的相反数，即把有理数的减法利用数的相反数变成加法进行运算。
篇8：高中数学平面向量知识点和测试题
高中数学平面向量知识点归纳和测试题
必修四 第二章平面向量
1.在△ABC中，AB?c，AC?b．若点D满足BD?2DC，则AD?（ ） A．
21b?c 33
B．c?
5
32b 3
C．
21b?c 33
D．b?
1
32c 3
2.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若AB?(2,4)，AC?(1,3),则BD?（ ） A． （－2，－4）
B．（－3，－5） C．（3，5）
D．（2，4）
3设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且DC?2BD,CE?2EA,AF?2FB,则
AD?BE?CF与BC( )
A.反向平行
.同向平行
C.互相垂直
D.既不平行也不垂直
4.关于平面向量a，b，c．有下列三个命题：
，k)，b?(?2，6)，a∥b，则k??3． ①若ab=ac，则b?c．②若a?(1
③非零向量a和b满足|a|?|b|?|a?b|，则a与a?b的夹角为60． 其中真命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号）
?的值为 5.若过两点P1(-1,2),P2(5,6)的直线与x轴相交于点P，则点P分有向线段PP12所成的比
A －
1
3
B －
1 5
C
1 5
D
1 3
( )
D．2
( )
→→→
6．已知正方形ABCD的边长为1，AB＝a，BC＝b，AC＝c，则a＋b＋c的模等于
A．0
B．22
2
7．已知|a|＝5，|b|＝3，且a・b＝－12，则向量a在向量b上的投影等于
A．－4
B．4
12
C5
125
( )
8．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于
13A．－＋22
13－b 22
31C.a－b 22
31D．－a
22
( )
9．与向量a＝(13)的夹角为30°的单位向量是
13
A．(，或(1，3)
22
B．(
31
) C．(0,1) 22
D．(0,1)或
3122( )
11
10．设向量a＝(1,0)，b＝()，则下列结论中正确的是
22
A．|a|＝|b|
B．a・b＝
2
2
C．a－b与b垂直 D．a∥b
11．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物
体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f4，则f4等于 A．(－1，－2)
( ) D．(1,2)
B．(1，－2) C．(－1,2)
12.已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a?c)?(b?c)?0,则c的最大值( )
A.1 B.2 C.2 D.
2
2
b?a・b＝ . 13.若向量a、b满足a?b?1,a与b的夹角为120°，则a・
14.如图，平面内有三个向量OA、、,其中OA与的夹角为120°，OA与的夹角为30°,且|OA|＝||＝1，||＝2，若＝λOA+μλ，μ∈R）,则λ+μ的值为.
?aa?
c=a-bab?0a??b，则向量a与c的夹角为（ ） 15．若向量与不共线，，且
ab??
A．0
B．
π
6
C．
π 3
D．
π 2
16．若函数y?f(x)的图象按向量a平移后，得到函数y?f(x?1)?2的图象，则向量a=（ ）
，?2) A．(?1，?2) B．(1，2) C．(?1，2) D．(1
3)，a在b
上的投影为17．设a?(4，
，b在x轴上的投影为2，且|b|≤14，则b为（ ） 2
C．??2?
14) A．(2，
B．?2，?
?
?2?? 7???2?7?
8) D．(2，
18．设两个向量a?(??2，?2?cos2?)和b??m?sin??，其中?，m，?为实数．若a?2b，则
?
?
m2
??
?
8] 的取值范围是（ ） A．[-6，1] B．[4，
m
C．（-6，1] D．[-1，6]
19．直角坐标系xOy中，i，j分别是与x，y轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC中，若
????
AB?2i?j,AC?3i?kj，则k的可能值个数是
A．1 B．2 C．3
D．4
→→
20．向量BA＝(4，－3)，向量BC＝(2，－4)，则△ABC的形状为
A．等腰非直角三角形 C．直角非等腰三角形
B．等边三角形
( )
D．等腰直角三角形
( )
21．若a＝(λ，2)，b＝(－3,5)，且a与b的夹角是钝角，则λ的`取值范围是
10
，＋∞? A.??3?
10
? B.??3?
10
－∞， C.?3?
10
－∞， D.?3?
22．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.
23．已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，则向量a和向量b的数量积a・b＝________. 24．已知非零向量a，b，若|a|＝|b|＝1，且a⊥b，又知(2a＋3b)⊥(ka－4b)，则实数k的值为________． 25．已知a＝（1，2），b＝（－2，3），且ka+b与a－kb垂直，则k＝（ ） （A） ?1?2（B）
?
?
?
?
?
?
2?1（C） 2?3（D） 3?2
课堂小测
1.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点
F．若AC?a，BD?b，则AF?（ ）
A．
11a?b 42
B．
21
a?b 33
C．
11
a?b 24
D．a?
1
32b 3
2.已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2AC?CB?0，则OC?（ ） A．2OA?OB
B．?OA?2OB
C．
21
OA?OB 33
D．?OA?
1
32
OB 3
?xπ??π?
?2?平移，则平移后所得图象的解析式为（） 3．将y?2cos???的图象按向量a????36??4??xπ??xπ?
A．y?2cos????2 B．y?2cos????2
?34??34??xπ?
C．y?2cos????2
?312?
?xπ?
D．y?2cos????2
?312?
CD?4．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD?2DB，
A．
1
CA??CB，则??（ ） 3
2 3
B．
1 3
C．?
1 3
D．?
2 3
5．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)・c＝30，则x等于
A．6
( )
B．5 C．4 D．3
6．已知a，b，c在同一平面内，且a＝(1,2)．
(1)若|c|＝25，且c∥a，求c； (2)若|b|＝
7．已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为60°，c＝5a＋3b，d＝3a＋kb，当实数k为何值时：
(1)c∥d；(2)c⊥d.
8．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长； →→→
(2)设实数t满足(AB－tOC)・OC＝0，求t的值．
，且(a＋2b)⊥(2a－b)，求a与b的夹角． 2
→→→→→→→→→
9．已知向量OP1、OP2、OP3满足条件OP1＋OP2＋OP3＝0，|OP1|＝|OP2|＝|OP3|＝1.
求证：△P1P2P3是正三角形．
10．已知正方形ABCD，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证：
(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB.
1
解7 由题意得a・b＝|a||b|cos 60°＝2×3×＝3.
2
9
(1)当c∥d，c＝λd，则5a＋3b＝λ(3a＋kb)． ∴3λ＝5，且kλ＝3，∴k5
29
(2)当c⊥d时，c・d＝0，则(5a＋3b)・(3a＋kb)＝0. ∴15a2＋3kb2＋(9＋5k)a・b＝0，∴k＝－.
14→→→→→→
解8 (1)AB＝(3,5)，AC＝(－1,1)，求两条对角线的长即求|AB＋AC|与|AB－AC|的大小． →→→→→→→→
由AB＋AC＝(2,6)，得|AB＋AC|＝210， 由AB－AC＝(4,4)，得|AB－AC|＝42. →→→→→→→(2)OC＝(－2，－1)， ∵(AB－tOC)・OC＝AB・OC－tOC2， 11→→→→→→易求AB・OC＝－11，OC2＝5， ∴由(AB－tOC)・OC＝0得t＝－.
5
→→→→→→→→→
证明9 ∵OP1＋OP2＋OP3＝0，∴OP1＋OP2＝－OP3，∴(OP1＋OP2)2＝(－OP3)2，
→→
1OP・OP1→2→2→→→2→→
∴|OP1|＋|OP2|＋2OP1・OP2＝|OP3|， ∴OP1・OP2＝－，cos∠P1OP2＝，
22→→
|OP1|・|OP2|→→→
∴∠P1OP2＝120°.∴|P1P2|＝|OP2－OP1|＝
→→
?OP2－OP1?2＝
→→→→OP12＋OP22－2OP1・OP2＝3.
→→
同理可得|P2P3|＝|P3P1|＝故△P1P2P3是等边三角形．
证明10 如图建立直角坐标系xOy，其中A为原点，不妨设AB＝2， 则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1)． →→→
(1)BE＝OE－OB＝(1,2)－(2,0)＝(－1,2)， →→→
CF＝OF－OC＝(0,1)－(2,2)＝(－2，－1)， →→∵BE・CF＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0， →→
∴BE⊥CF，即BE⊥CF.
→→
(2)设P(x，y)，则FP＝(x，y－1)，CF＝(－2，－1)，
→→→→
∵FP∥CF，∴－x＝－2(y－1)，即x＝2y－2.同理由BP∥BE，得y＝－2x＋4，代入x＝2y－2. 686868→→→→
. ∴AP2＝??2＋??2＝4＝AB2，∴|AP|＝|AB|，即AP＝AB. 解得x＝，∴y＝，即P??55?5??5?55
篇9：职高高二平面向量课件
职高高二平面向量课件
【教学目标】
1.能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则，并能进行相关运算，进一步培养学生的运算能力;
2.通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力.
【教学重难点】
教学重点:平面向量的坐标运算.
教学难点: 对平面向量坐标运算的理解.
【教学过程】
一、创设情境
以前，我们所讲的向量都是用有向线段表示，即几何的方法表示。向量是否可以用代数的方法，比如用坐标来表示呢?如果可能的话，向量的运算就可以通过坐标运算来完成，那么问题的解决肯定要方便的多。因此，我们有必要探究一下这个问题：平面向量的坐标运算。
二、新知探究
思考1：设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设 =(x1, y1) =(x2, y2)则 =x1i+y1j， =x2i+y2j，根据向量的线性运算性质，向量 λ (λ∈R)如何分别用基底i、j表示?
思考2：根据向量的坐标表示，向量 + ， - ，λ 的坐标分别如何?
+ =(x1+x2，y1+y2);
- =(x1-x2，y1-y2);
λ =(λx1，λy1).
两个向量和与差的坐标运算法则：
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
思考3：已知点A(x1, y1),B(x2, y2)，那么向量 的坐标如何?
结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.
思考4：一个向量平移后坐标不变，但起点坐标和终点坐标发生了变化，这是否矛盾呢?
结论：
1：任意向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关系，只与其相对位置有关。
2：当把坐标原点作为向量的起点，这时向量的坐标就是向量终点的坐标.
三、典型例题
例1 已知 =(2,1), =(-3,4),求 + ， - ，3 +4 的坐标.
解： + =(2,1)+(-3,4)=(-1，5)，
- =(2,1)-(-3,4)=(5，-3)，
3 +4 =3(2,1)+4(-3,4)= (6,3)+(-12,16)=(-6，19).
点评：利用平面向量的坐标运算法则直接求解。
例2、已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为(-2，1)、(-1，3)(3，4)，求顶点D的坐标。
解：设点D的坐标为(x,y),
即 3- x=1,4-y=2
解得 x=2,y=2
所以顶点D的坐标为(2，2).
另解：由平行四边形法则可得
所以顶点D的`坐标为(2，2)
点评：考查了向量的坐标与点的坐标之间的联系.
变式训练2：已知平面上三点的坐标分别为A(-2, 1), B(-1, 3), C(3, 4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。
四、课堂小结
本节课主要学习了平面向量的坐标运算法则：
(1)两向量和的坐标等于各向量对应坐标的和;
(2)两向量差的坐标等于各向量对应坐标的差;
(3)实数与向量积的坐标等于原向量的对应坐标乘以该实数;
五、反馈测评
1.下列说法正确的有( )个
(1)向量的坐标即此向量终点的坐标
(2)位置不同的向量其坐标可能相同
(3)一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标
(4)相等的向量坐标一定相同
A.1 B.2 C.3 D.4
2.已知A(-1，5)和向量 =(2,3)，若 =3 ，则点B的坐标为__________。
A.(7,4) B.(5,4) C.(7,14) D.(5,14)
3.已知点 ， 及 ， ， ，求点 、 、 的坐标。
板书设计
略
篇10：平面向量的公式的高中数学知识点总结
定比分点
定比分点公式(向量P1P=λ向量PP2)
设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ，使 向量P1P=λ向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)
x=(x1+λx2)/(1+λ),
y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分点坐标公式)
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
三点共线定理
若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线
三角形重心判断式
在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心
[编辑本段]向量共线的重要条件
若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。
a//b的重要条件是 xy'-x'y=0。
零向量0平行于任何向量。
[编辑本段]向量垂直的充要条件
a⊥b的充要条件是 ab=0。
a⊥b的充要条件是 xx'+yy'=0。
零向量0垂直于任何向量.
设a=(x，y)，b=(x'，y')。
1、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：
交换律：a+b=b+a;
结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0
AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”
a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').
4、数乘向量
实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且?λa?=?λ??a?。
当λ>0时，λa与a同方向;
当λ<0时，λa与a反方向;
当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当?λ?>1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的?λ?倍;
当?λ?<1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的?λ?倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律：(λa)b=λ(ab)=(aλb)。
向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.
数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
3、向量的的数量积
定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作ab。若a、b不共线，则ab=abcos〈a，b〉;若a、b共线，则ab=+-?a??b?。
向量的数量积的坐标表示：ab=xx'+yy'。
向量的数量积的运算律
ab=ba(交换律);
(λa)b=λ(ab)(关于数乘法的结合律);
(a+b)c=ac+bc(分配律);
向量的数量积的性质
aa=a的平方。
a⊥b 〈=〉ab=0。
ab≤ab。
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的数量积不满足结合律，即：(ab)c≠a(bc);例如：(ab)^2≠a^2b^2。
2、向量的数量积不满足消去律，即：由 ab=ac (a≠0)，推不出 b=c。
3、ab≠ab
4、由 a=b ，推不出 a=b或a=-b。
4、向量的向量积
定义：两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：?a×b?=absin〈a，b〉;a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。
向量的向量积性质：
?a×b?是以a和b为边的平行四边形面积。
a×a=0。
a‖b〈=〉a×b=0。
向量的向量积运算律
a×b=-b×a;
(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);
(a+b)×c=a×c+b×c.
注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。
向量的三角形不等式
1、??a?-?b??≤?a+b?≤?a?+?b?;
① 当且仅当a、b反向时，左边取等号;
② 当且仅当a、b同向时，右边取等号。
2、??a?-?b??≤?a-b?≤?a?+?b?。
① 当且仅当a、b同向时，左边取等号;
② 当且仅当a、b反向时，右边取等号。
这篇有关平面向量的公式的高中数学知识点总结，是小编精心为同学们准备的，祝大家学习愉快!
[平面向量的公式的高中数学知识点总结]
篇11：数学平面向量课后题
数学平面向量课后题
数学的必修四便会学习到平面向量，这和物理必修一的内容也有一定的相关性，所以，我们更应该学好这一知识点。分享了数学平面向量的课后题及答案，一起来看看吧！
一、选择题
1．已知向量OA→＝(3，－4)，OB→＝(6，－3)，OC→＝(2m， m＋1)．若AB→∥OC→，则实数m的值为( )
A．－3 B．－17
C．－35 D.35
解析 AB→＝OB→－OA→＝(3,1)，因为AB→∥OC→，
所以3(m＋1)－2m＝0，解得m＝－3.
答案 A
2．已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)(a－b)＝－2，则a与b的夹角为( )
A.π6 B.π3
C.π2 D.2π3
解析 由(a＋2b)(a－b)＝|a|2＋ ab－2|b|2＝－2，得ab＝2，即|a||b|cos〈a，b〉＝2，cos〈a，b〉＝12.故〈a，b〉＝π3.
答案 B
3．平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析 ∵a＝(1,2)，b＝(4,2)，∴c＝m(1,2)＋(4,2)＝(m＋4,2m＋2)．又∵c与a的夹角等于c与b的夹角 ，∴cos〈c，a〉＝cos〈c，b〉．∴ca|c||a|＝cb|c||b|.即5m＋85|c|＝8m＋2025|c|，解得m＝2.
答案 D
4．)若向量a，b满足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|＝( )
A．2 B.2
C．1 D.22
解析 ∵(a＋b)⊥a，|a|＝1，∴(a＋b)a＝0，
∴|a|2＋ab＝0，∴ab＝－1.
又∵(2a＋b)⊥b，∴(2a＋b)b＝ 0.
∴2ab＋|b|2＝0.∴|b|2＝2.
∴|b|＝2，选B.
答案 B
5．设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(3sinA，sinB)，n＝(cosB，3cosA)，若mn＝1＋cos(A＋B)，则C＝( )
A.π6 B.π3
C.2π3 D.5π6
解析 依题意得 3sinAcosB＋3cosAsinB＝1＋cos(A＋B)，
3sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)，3sinC＋cosC＝1，
2sinC＋π6＝1，sinC＋π6＝12.又π6 因此C＋π6＝5π6，C＝2π3，选C. 答案 C 6．在平面上，AB1→⊥AB2→，|OB1→|＝|OB2→|＝1，AP→＝AB1→＋AB2→.若|OP→|<12，则|OA→|的取值范围是( ) A.0，52 B .52，72 C.52，2 D.72，2 解析 由题意得点B1，B2在以O为圆心，半径为1的圆上，点P在以O为圆心半径为12的圆内，又AB1→⊥AB2→，AP→＝AB1→＋AB2→，所以点A在以B1B2为直径的圆上，当P与O点重合时，|OA→|最大为2，当P在半径为12的圆周上，|OA→|最小为72.∵P在圆内，∴|OA→|∈72，2. 答案 D 二、填空题 7．已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)，且λ a＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________. 解析 |b|＝22＋12＝5，由λa＋b＝0，得b＝－λa， 故|b|＝|－λa|＝|λ||a|，所以|λ|＝|b||a|＝51＝5. 答案 5 8．在△ABC中，BO为边AC上的中线，BG→＝2GO→，若CD→∥AG→，且AD→＝15AB→＋λAC→(λ∈R)，则λ的值为________． 解析 因为CD→∥AG→，所以存在实数k，使得CD→＝kAG→.CD→＝AD→－AC→＝15AB→＋(λ－1)AC→，又由BO是△ABC的边AC上的中线，BG→＝2GO→，得点G为△ABC的重心，所以AG→＝13(AB→＋AC→)，所以15AB→＋(λ－1)AC→＝k3(AB→＋AC→)，由平面向量基本定理可得15＝k3，λ－1＝k3，解得λ＝65. 答案 65 9．在△ABC所在的平面上有一点P满足PA→＋PB→＋PC→＝AB→，则△PBC与△ABC的面积之比是________． 解析 因为PA→＋PB→＋PC→＝AB→，所以PA→＋PB→＋PC→＋BA→＝0，即PC→＝2AP→，所以点P是CA边上靠近A点的一个三等分点，故S△PBCS△ABC＝PCAC＝23. 答案 23 三、解答题 10．已知向量AB→＝(3,1)，AC→＝(－1，a)，a∈R (1)若D为BC中点，AD→＝(m,2)，求a，m的值； (2)若△ABC是直角三角形，求a的值． 解 (1)因为AB→＝(3,1)，AC→＝(－1，a)， 所以AD→＝12(AB→＋AC→)＝1，1＋a2. 又AD→＝(m,2)，所以m＝1，1＋a＝2×2，解得a＝3，m＝1. (2)因为△ABC是直角三角形，所以A＝90°或B＝90°或C＝90°. 当A＝90°时，由AB→⊥AC→， 得3×(－1)＋1a＝0，所以a＝3； 当B＝90°时，因为BC→＝AC→－AB→＝(－4，a－1)， 所以由AB→⊥BC→， 得3×(－4)＋1(a－1)＝0，所以a＝13； 当C＝90° 时，由BC→⊥AC→， 得－1×(－4)＋a(a－1)＝0， 即a2－a＋4＝0，因为a∈R，所以无解． 综上所述，a＝3或a＝13. 11．在△ABC中，已知2AB→AC→＝3|AB→||AC→|＝3BC→2，求角A、B、C的.大小． 解 设BC＝a，AC＝b，AB＝c. 由2AB→AC→＝3|AB→||AC→|，得2bccosA＝3bc， 所以cosA＝32. 又A∈(0，π)，因此A＝π6. 由3|AB→||AC→|＝3BC→2，得cb＝3a2. 于是sinCsinB＝3sin2A＝34. 所以sinCsin5π6－C＝34. sinC12cosC＋32sinC＝34， 因此2sinCcosC＋23sin2C＝3， sin2C－3cos2C＝0， 即2sin2C－π3＝0. 由A＝π6知0 所以－π3<2C－π3<4π3， 从而2C－π3＝0，或2C－π3＝π， 即C＝π6或C＝2π3， 故A＝π6，B＝2π3，C＝π6，或A＝π6，B＝π6，C＝2π3. B级——能力提高组 1. 已知正三角形ABC的边长为1，点P是AB边上的动点，点Q是AC边上的动点，且AP→＝λAB→，AQ→＝(1－λ)AC→ ，λ∈R，则BQ→CP→的最大值为( ) A.32 B．－32 C.38 D．－38 解析 ，BQ→CP→＝(BA→＋AQ→)(CA→＋AP→)＝[BA→＋(1－λ)AC→](CA→＋λAB→)＝AB→AC→－λAB→ 2－(1－λ)AC→2＋λ(1－λ)AB→AC→＝(λ－λ2＋1)×cos60°－λ＋λ－1＝－12λ－122－38，0≤λ≤1，所以当λ＝12时，BQ→CP→的最大值为－38，选D. 答案 D 2．已知两个不相等的非零向量a，b，两组向量x1，x2，x3，x4，x5和y1，y2，y3，y4，y5均由2个a和3个b排列而成．记S＝x1y1＋x2y2＋x3y3＋x4y4＋x5y5，Smin表示S所有可能取值中的最小值． 则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)． ①S有5个不同的值； ②若a⊥b，则Smin与|a|无关； ③若a∥b，则Smin与|b|无关； ④若|b|>4|a|，则Smin>0； ⑤若|b|＝2|a|，Smin＝8|a|2，则a与b的夹角为π4. 解析 对于①，若a，b有0组对应乘积，则S1＝2a2＋3b2，若a，b有2组对应乘积，则S2＝a2＋2b2＋2ab，若a，b有4组对应乘积，则S3＝b2＋4ab，所以S最多有3个不同的值，①错误；因为a，b是不等向量，所以S1－S3＝2a2＋2b2－4ab＝2(a－b)2>0，S1－S2＝a2 ＋b2－2ab＝(a－b)2>0，S2－S3＝(a－b)2>0，所以S30，④正确；对于⑤，|b|＝2|a|，Smin＝4|a|2＋8|a|2cosθ＝8|a|2，所以cosθ＝12，又θ∈[0，π]，所以θ＝π3，⑤错误．因此正确命题是②④. 答案 ②④ 3．已知向量m＝3sinx4，1，n＝cosx4，cos2x4. (1)若mn＝1，求cos2π3－x的值； (2)记f(x)＝mn，在△ABC中，角A ，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求函数f(A)的取值范围． 解 (1)mn＝3sinx4cosx4＋cos2x4 ＝32sin x2＋12cosx2＋12＝sinx2＋π6＋12. 又∵mn＝1，∴sinx2＋π6＝12. cosx＋π3＝1－2sin2x2＋π6＝12， cos2π3－x＝－ cosx＋π3＝－12. (2)∵(2a－c)cosB＝bcosC， 由正弦定理得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC， ∴2sinAcosB－sinCcosB＝sinBcosC. ∴2sinAcosB＝sin(B＋C)． ∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sinA，且sinA≠0. ∴cosB＝12.又∵0 ∴0 ∴π6 又∵f(x)＝mn＝sinx2＋π6＋12， ∴f(A)＝sinA2＋π6＋12. 高一数学平面向量课件 高一数学平面向量课件 第一教时 教材：向量 目的：要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量与已知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等。 过程： 一、 开场白：课本P93(略) 实例：老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去， 问：猫能否追到老鼠?(画图) 结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。 二、 提出课题：平面向量 1. 意义：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量等 注意：1?数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小; 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。 2?从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。 2. 向量的表示方法： 1?几何表示法：点—射线 有向线段——具有一定方向的线段 有向线段的三要素：起点、方向、长度 记作(注意起讫) 2?字母表示法： 可表示为 (印刷时用黑体字) P95 例 用1cm表示5n mail(海里) 3. 模的概念：向量 的`大小——长度称为向量的模。 记作：| | 模是可以比较大小的 4. 两个特殊的向量： 1?零向量——长度(模)为0的向量，记作 。 的方向是任意的。 注意 与0的区别 2?单位向量——长度(模)为1个单位长度的向量叫做单位向量。 例：温度有零上零下之分，“温度”是否向量? 答：不是。因为零上零下也只是大小之分。 例： 与 是否同一向量? 答：不是同一向量。 例：有几个单位向量?单位向量的大小是否相等?单位向量是否都相等? 答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。 三、 向量间的关系： 1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。 记作： ∥ ∥ 规定： 与任一向量平行 2. 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 记作： = 规定： = 任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。 3. 共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ， 所以平行向量也叫共线向量。 例：(P95)略 变式一：与向量长度相等的向量有多少个?(11个) 变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量?(存在) 变式三：与向量共线的向量有哪些?( ) 四、 小结： 五、 作业：P96 练习习题5.1篇12：高一数学平面向量课件
