高中数学《曲线和方程》说课稿

【简介】感谢网友“独莫凭栏”参与投稿，下面小编给大家整理了高中数学《曲线和方程》说课稿（共10篇），供大家阅读参考。

篇1：高中数学《曲线和方程》说课稿

各位领导、专家、同仁：你们好!

我是广安市乐善中学的数学教师蒋永华。我说课的内容是“曲线和方程”。下面我从教材分析、教学方法、学法指导、教学程序、板书设计以及评价六个方面来汇报对教材的钻研情况和本节课的教学设想。恳请在座的专家、同仁批评指正。

一、关于教材分析

1、教材的地位和作用

“曲线和方程”是高中数学第二册(上)第七章《直线和圆的方程》的重点内容之一，是在介绍了“直线的方程”之后，对一般曲线(也包括直线)与二元方程的关系作进一步的研究。这部分内容从理论上揭示了几何中的“形”与代数中的“数”相统一的关系，为“形”与“数”的相互转化开辟了途径，同时也体现了解析几何的基本思想，为解析几何的教学奠定了一个理论基础。

2、教学内容的选择和处理

本节教材主要讲解曲线的方程和方程的曲线、坐标法、解析几何等概念，讨论怎样求曲线的方程以及曲线的交点等问题。共分四课时完成，这是第一课时。此课时的主要内容是建立“曲线的方程”和“方程的曲线”这两个概念，并对概念进行初步运用。我在处理教材时，不拘泥于教材，敢于大胆进行调整。主要体现在对曲线的方程和方程的曲线的定义进行归纳上，通过构造反例，引导学生进行观察、讨论、分析、正反对比，逐步揭示其内涵，然后在此基础上归纳定义;再一点就是在得出定义之后，引导学生用集合观点来理解概念。

3、教学目标的确定

根据教学大纲的要求以及本节教材的地位和作用，结合高二学生的认知特点，我认为，通过本节课的教学，应使学生理解曲线和方程的概念;会用定义来判断点是否在方程的曲线上、证明曲线的方程;培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力，渗透数形结合的数学思想;并借用曲线与方程的关系进行辩证唯物主义观点的教育;通过对问题的不断探讨，培养学生勇于探索的精神。

4、关于教学重点、难点和关键

由于曲线和方程的概念体现了解析几何的基本思想，学生只有透彻理解了这个概念，才能用解析法去研究几何图形，才算是踏上解析几何的入门之径。因此，我把曲线和方程的概念确定为本节课的教学重点。另外，由于曲线和方程的概念比较抽象，加之刚刚进入高二的学生抽象思维能力还不是很强，因此，他们对曲线和方程关系的“纯粹性”与“完备性”不易理解，弄不清它们之间的区别与联系，易产生“为什么要规定这样两个关系”的疑问。所以，对概念的理解，尤其是对“两个关系”的认识是本节课的难点。

如何突破这一难点呢?由于学生在学习本节之前，已经有了用方程表示几何图形的感性认识(比如用方程表示直线、抛物线、双曲线等)。因此，突破这一难点的关键在于利用学生积累的这些感性认识，通过分析反例，来揭示“两个关系”中缺少任何一个都将破坏曲线与方程的统一性(即扩大概念的外延)。

二、关于教学方法与教学手段的选用

根据本节课的教学内容和学生的实际水平，我采用的是引导发现法和CAI辅助教学。

(1)引导发现法是通过教师的引导、启发，调动学生参与教学活动的积极性，充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用。在教学中通过设置疑问，创造出思维情境，然后引导学生动脑、动手、动口，使学生在开放、民主、和谐的教学氛围中获取知识，提高能力，促进思维的发展。

(2)借助CAI辅助教学，增大教学的容量和直观性，增强学习兴趣，从而达到提高教学效果和教学质量的目的。(这也符合教学论中的直观性原则和可接受性原则。)

(3)教具：三角板、多媒体。

三、关于学法指导

古人说得好，“授人以鱼，只供一饭;教人以渔，终身受用。”我们在向学生传授知识的同时，必须教给他们好的学习方法，让他们学会学习、享受学习。因此，在本节课的教学中，引导学生开展“仔细看、动脑想、多交流、细比较、勤练习”的研讨式学习，加大学生的参与机会，增强参与意识，让他们体验获取知识的历程，掌握思考问题的方法，逐渐培养他们“会观察”、“会类比”、“会分析”、“会归纳”的能力。

四、关于教学程序的设计

首先是“复习引入”。我先引导学生回顾本章第二节中直线与二元一次方程的关系，并让学生指出二者能互相表示时满足的条件。然后，在此基础上提出“平面直角坐标系中一般曲线和二元方程之间要建立这样的对应关系，也就是能互相完整地表示时，需具备什么样的条件呢?”从而引出将要学习的课题――曲线和方程。这样引入课题显得比较自然，也符合由特殊到一般的思维认知规律。同时，直线与二元一次方程的关系也为下面研究一般曲线与二元方程的关系提供了一个实际模型。(本环节用时约分钟。)

第二个环节“设疑导思”。在课题引出之后，我把刚才引入课题时的问题(即：一个二元方程f(x,y)=0的解与平面直角坐标系中一般的曲线C上的点需满足什么样的条件，就可以用方程f(x,y)=0来表示曲线C，同时曲线C也可以来表示这个方程f(x,y)=0?)再次交给学生，让他们进行思考、讨论，然后请学生

内容如下：

代表发表意见，我适当地集中学生的观点，并逐步将其归结为两点：①曲线上点的坐标满足方程f(x,y)=0，②以方程f(x,y)=0的解为坐标点在曲线上(学生用类比的方法和积累的用方程表示曲线的感性认识，是可以猜想出这一条件的)，但我对学生的观点不作评判(这样就留下了悬念)。这样设计的意图在于：此思考题是本节课的核心问题，在这里提出来是为了给学生一个明确的学习目标;同时，也是为了通过问题给学生营造出思维情境，调动起他们的思维。给学生留下悬念，是为了激发他们的学习热情和求知欲望，从而使他们主动参与到后面的教学活动中来。(本环节用时约分钟。)

接下来我就引导他们进行“实例探究”。首先用电脑投影例题1，让学生对例题进行分析、讨论，并动手画图，然后口答二者的关系。最后，由我给予订正，同时用电脑显示相关结果。设计此例的目的是让学生从正面认识曲线和方程互相完整表示时所具有的两个关系，即“(1)如果点M(x0,y0)是C1上的点，那么(x0,y0)一定是方程的解;反过来，(2)如果(x0,y0)方程的解，那么以(x0,y0)为坐标的点必在C1上。”显然，它满足刚才学生自己所提出的两个条件。(也就是抛物线上的点与方程的解形成了一一对应的关系。)

尽管学生知道了曲线和方程互相完整表示时所具有的这样两个关系，但学生此时可能还会存有这样的疑问：“曲线与方程互相完整表示时一定要满足这样两个关系吗?缺少一个会怎样呢?”学生的这一疑问也正是本节课的教学难点所在。为了突破这一难点，我在例1的基础上分别构造出两个反例，一个是在原有抛物线上“长出”一部分，即“曲线多了”的情形，另一个是将原来的抛物线“剪去”一段，即“曲线少了”的情形。接着在教师的引导下，让学生分别对两个反例进行充分地观察、分析、讨论(当然，这里要给学生留足时间)。通过这些认知活动的开展，学生能够发现：问题1中(反例1)，虽然以方程的解为坐标的点都在曲线C2上，但曲线C2上的点的坐标不全满足方程(可举例验证)，也就是C2上“混进”了其坐标不是方程解的点，从而导致曲线C2上的点和方程解不是一一对应的关系，它们不能互相完整地表示，即“曲线多了”。此时，它满足同学自己提出的“两个关系”中②不满足①。问题2(反例2)中，曲线C3上的点的坐标都满足方程，但以方程的解为坐标的点不全在曲线C3上(也可举例说明)，也就是曲线上“缺漏”其坐标是方程解的点，同样导致曲线C3上的点与方程的解也不是一一对应的关系。显然曲线C3与方程不能互相完整地表示，即“曲线少了”。此时，它满足“两个关系”中的①不满足②。由此，学生可以得出结论：“两个关系”中缺少任何一个，曲线和方程都不能互相完整地表示。这样就使本节课的教学难点被突破了。这里对反例的设置是在例1的基础上进行演化的，没有另外构造反例，目的是让学生能更好地进行正反对比，从而易于发现问题，形成深刻的印象。这一环节的教学是在教师的引导下采用研讨的方式进行的，这样处理有助于调动学生学习积极性，增强课堂参与意识，培养学生的观察能力和逻辑思维能力。(本环节用时约分钟)

通过上一环节的实例探究和反例分析，实际上已经揭示了曲线和方程对应关系的本质属性，但学生对此还缺乏一种逻辑上的准确表述。因此，接下来就是引导学生在刚才的探讨基础上“归纳定义”。首先向学生提出这样的问题：如果将例1中能完整表示曲线的这个方程称为“曲线的方程”，那么我们该如何定义“曲线的方程”?这时可引导学生思考：为了避免两个反例中曲线与方程关系的“不完整性”，我们应该作出怎样的限制?随着这一问题的解答，自然也就得出了定义。事实上，这一环节是在暴露定义产生的过程，目的是让学生从中学到处理数学问题的思想和方法，培养学生的数学素质。另外，在归纳出定义后，又引导学生用集合对定义进行重新表述，这样可以使学生对曲线与方程的关系进行再认识，从而强化对概念的理解。(本环节用时约分钟)

接下来，我给学生准备了一道练习题，通过练习一方面可以加深学生对定义的理解;另一方面也旨在了解学生对概念的掌握情况，以便调节后面的教学节奏。同时，通过两个引申提问(一个是怎样修改图形，可使曲线是方程的曲线，另一个是如何修改方程可使方程是曲线的方程。)，对题目作进一步的探讨。这样有利于培养学生的发散思维，促使良好思维习惯的形成。(练习用时约分钟)

处理完练习以后，又引导学生对概念进行初步运用(目的还是为了加强对概念的理解)。首先我将例2、例3分别投影在屏幕上，然后引导学生分析解题思路，并根据学生的分析进行补充讲解，最后师生共同完成解答。对例3的证明在理清思路后，由我将证明过程板书出来，目的是给学生起一个示范作用，让学生掌握正确的书写格式，培养学生严谨推理的习惯。另外，在解完例题之后，又引导学生对解题过程进行回顾，并归纳出具有一般性的结论，这样既有利于解题技能的形成，又可培养学生良好的解题习惯。(本环节用时约分钟)

课堂小结我是引导学生从知识内容和思想方法两个方面进行小结的。通过小结使学生对本节课的知识结构有一个清晰的认识。在小结时不仅概括所学知识，而且还对所用到的数学方法和涉及的数学思想也进行归纳，这样既可以使学生完成知识建构，又可以培养其能力。(用时约分钟)

最后布置作业。所布置的作业都是紧紧围绕着“曲线和方程”的概念及运用。通过作业来反馈知识掌握效果，巩固所学知识，强化基本技能的训练，培养学生良好的学习习惯和品质。另外，设计选作题是为了给学有余力的学生留出自由发展的空间。(用时约分钟)

五、关于板书设计

我将板书设计为“提纲式”。这样设计主要是力求重点突出，能加深学生对重点知识的理解和掌握，便于记忆，从而提高教学效果。

六、关于评价

在授课过程中，我根据学生对课堂提问及例习题的解答情况，及时调节课堂节奏，“易”则可加快，“难”则应放慢速度，并借用富有启发性的、阶梯性的提问对学生进行思维引导。

课后，我将通过统计《课堂练习反馈表》、批改作业以及与学生谈话等方式，来了解学生对“曲线与方程”概念的掌握情况，检查教学目的的实现程度。同时，根据收集的这些教学反馈信息来对下一步教学工作作出必要的调整和改进。另外，通过对作业的评判和统计课堂练习完成情况，有助于学生认识自我，让他们获得成就感，从而增强其自信心，培养学生积极进取的学习态度。

以上，我从六个方面阐述了对“曲线和方程”这一节内容的有关分析和教学设想。不妥之处，敬请各位专家、同仁指正。谢谢大家!

篇2：《曲线和方程》说课稿

《曲线和方程》说课稿模板

一、教材分析

1.教材背景

作为曲线内容学习的开始，“曲线与方程”这一小节思想性较强，约需三课时，第一课时介绍曲线与方程的概念;第二课时讲曲线方程的求法;第三课时侧重对所求方程的检验.

本课为第二课时

主要内容有：解析几何与坐标法;求曲线方程的方法(直译法)、步骤及例题探求.

2.本课地位和作用

承前启后，数形结合

曲线和方程，既是直线与方程的自然延伸，又是圆锥曲线学习的必备，是后面平面曲线学习的理论基础，是解几中承上启下的关键章节.

“曲线”与“方程”是点的轨迹的两种表现形式.“曲线”是轨迹的几何形式，“方程”是轨迹的代数形式;求曲线方程是用方程研究曲线的先导，是解析几何所要解决的两大类问题的首要问题.体现了坐标法的本质——代数化处理几何问题，是数形结合的典范.

后继性、可探究性

求曲线方程实质上就是求曲线上任意一点(x,y)横纵坐标间的等量关系，但曲线轨迹常无法事先预知类型，通过多媒体演示可以生动展现运动变化特点，但如何获得曲线的方程呢?通过创设情景，激发学生兴趣，充分发挥其主体地位的作用，学习过程具有较强的探究性.

同时，本课内容又为后面的轨迹探求提供方法的准备，并且以后还会继续完善轨迹方程的求解方法.

数学建模与示范性作用

曲线的方程是解析几何的核心.求曲线方程的过程类似于数学建模的过程，它贯穿于解析几何的始终，通过本课例题与变式，要总结规律，掌握方法，为后面圆锥曲线等的轨迹探求提供示范.

数学的文化价值

解析几何的发明是变量数学的第一个里程碑，也是近代数学崛起的两大标志之一，是较为完整和典型的重大数学创新史例.解析几何创始人特别是笛卡儿的事迹和精神——对科学真理和方法的追求、质疑的科学精神等都是富有启发性和激励性的教育材料.可以根据学生实际情况，条件允许时指导学生课后收集相关资料，通过分析、整理，写出研究报告.

3.学情分析

我所授课班级的学生数学基础比较好，思维活跃，在刚刚学习了“曲线的方程和方程的曲线”后，学生对这种必须同时具备纯粹性和完备性的概念有了初步的认识，对用代数方法研究几何问题的科学性、准确性和优越性等已有了初步了解，对具体(平面)图形与方程间能否对应、怎样对应的学习已经有了自然的求知欲望.

二、目标分析

1.教学目标

知识技能目标

理解坐标法的作用及意义.

掌握求曲线方程的一般方法和步骤，能根据所给条件，选择适当坐标系求曲线方程.

过程性目标

通过学生积极参与，亲身经历曲线方程的获得过程，体验坐标法在处理几何问题中的优越性，渗透数形结合的数学思想.

通过自主探索、合作交流，学生历经从“特殊——一般——特殊”的认知模式，完善认知结构.

通过层层深入，培养学生发散思维的能力，深化对求曲线方程本质的理解.

情感、态度与价值观目标

通过合作学习，学生间、师生间的相互交流，感受探索的乐趣与成功的'喜悦，体会数学的理性与严谨，逐步养成质疑的科学精神.

展现人文数学精神，体现数学文化价值及其在在社会进步、人类文明发展中的重要作用.

2.教学重点和难点

重点：求曲线方程的方法、步骤

难点：几何条件的代数化

依据：求曲线方程是解几研究的两大类问题之一，既是重点也是难点，是高考解答题取材的源泉.主要包括两种类型求曲线的方程：一是已知曲线形状时常用待定系数法;二是动点轨迹方程探求，本课的重点主要是探索动点的曲线方程.

曲线与方程是贯穿平面解几的知识，是解析几何的核心.求曲线方程是几何问题得以代数研究的先决，求曲线方程的过程类似数学建模的过程，是课堂上必须突破的难点.

三、教学方法及教材处理

1.教学方法：探究发现教学法.

遵循以学生为主体，教师为主导，发展为主旨的现代教育原则，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，通过学生主动探索、积极参与、共同交流与协作，在教师的引导和合作下，学生“跳一跳”就能摘得果实，于问题的分析和解决中实现知识的建构和发展，通过不断探究、发现，让学习过程成为心灵愉悦的主动认知过程，使师生的生命活力在课堂上得到充分的发挥.

2.学法指导

学生学法：互相讨论、探索发现

由于学生在尝试问题解决的过程中常会在新旧知识联系、策略选择、思想方法运用等方面遇到一定的困难，需要教师指导.作为学生活动的组织者、引导者、参与者，教师要帮助学生重温与问题解决有关的旧知，给予学生思考的时间和表达的机会，共同对(解题)过程进行反思等，在师生(生生)互动中，给予学生启发和鼓励，在心理上、认知上予以帮助.

这样，在学法上确立的教法，能帮助学生更好地获得完整的认知结构，使学生思维、能力等得到和谐发展.

篇3：《曲线与方程》说课稿

《曲线与方程》最新说课稿

一、教材内容分析

“曲线与方程”这节课是一节承上启下的内容，既对必修2中解析几何初步学习进行了延伸，又为后面学习圆锥曲线做好了铺垫。

二、学情分析

学生在必修2中已经学过直线和圆的方程，体会到了解析几何的基本方法——坐标法的好处。但没有从理论的角度探索曲线与方程的关系，表现在求解一些轨迹问题或曲线方程的时候常常出现范围错误的现象。

三、教学重点、难点

重点：曲线的方程和方程的曲线的定义。

难点：运用定义验证曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程。

四、教学目标

1.知识与技能：知道曲线的方程和方程的曲线的定义。给出一些熟悉的曲线的部分图象后能确定变量的取值范围。能够根据所给的方程画出相应的图形。

2.过程与方法：让学生参与教学的全过程，通过对定义的总结与应用，进一步体会数形结合的思想方法。

3.情感态度与价值观：通过师生互动、生生互动，让学生在民主、和谐的课堂氛围中，感受学习的乐趣，提高学生的兴趣，增强学生的信心。

五、教学方法

课堂教学中坚持以学生为主体，教师为主导，思维训练为主线，能力培养为主攻的原则。我采用引导发现、问题引领等方法。

六、媒体资源选用

采用多媒体辅助教学，PPT制作课件，利用天宫一号的视频来让学生初步体会曲线与方程的关系。

七、教学流程

为突出重点，突破难点，完成教学目标，我设计的.教学流程如下：

首先利用天宫一号的目标飞行器成功发射的模拟动画，使学生初步体会曲线上的点与方程的解是一一对应的关系，同时体会数学的应用价值。

我引导学生尝试用自己的语言归纳什幺叫曲线的方程，什幺叫方程的曲线，在学生自我归纳的基础上，教师给出标准的定义将其感性认识理性化。

为了帮助学生理解定义，我又从集合、充要条件两个不同角度进行剖析，也为后面解决问题做好了铺垫。

为了检测学生对定义的理解和应用，在习题配备上，我采用了二、二、三的结构。

首先给出两组练习，并设置问题。接着设置两道例题，让学生掌握利用定义判断及证明方程为曲线的方程。通过师生互动完成例题的证明过程，进一步加深学生对定义的理解，培养学生书面表达的严谨和简洁。

最后，让学生归纳、总结出本节课所学的主要内容，老师作适当点拨引导，培养学生的概括能力、表达能力和自我获取知识的能力，并布置课后作业。

八、教学评价

教学过程中适时地进行生生互评、师生互评。在课堂联系阶段利用投影仪展示学生的作业，做到现做现评。

篇4：《曲线和方程》数学说课稿

《曲线和方程》数学说课稿

一、教材分析

教材的地位和作用

“曲线和方程”这节教材揭示了几何中的形与代数中的数相统一的关系，为“作形判数”与“就数论形”的相互转化开辟了途径，这正体现了解析几何这门课的基本思想，对全部解析几何教学有着深远的影响。学生只有透彻理解了曲线和方程的意义，才算是寻得了解析几何学习的入门之径。如果以为学生不真正领悟曲线和方程的关系，照样能求出方程、照样能计算某些难题，因而可以忽视这个基本概念的教学，这不能不说是一种“舍本逐题”的偏见，应该认识到这节“曲线和方程”的开头课是解析几何教学的“重头戏”！

根据以上分析，确立教学重点是：“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；难点是：怎样利用定义验证曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程。

二、教学目标

根据教学大纲的要求以及本教材的地位和作用，结合高二学生的认知特点确定教学目标如下：

知识目标：

1、了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；

2、初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；

3、学会根据已有的情景资料找规律，进而分析、判断、归纳结论；

4、强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。

能力目标：

1、通过直线方程的引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的认识；

2、在形成曲线和方程的概念的教学中，学生经历观察、分析、讨论等数学活动过程，探索出结论，并能有条理的阐述自己的观点；

3、能用所学知识理解新的概念，并能运用概念解决实际问题，从中体会转化化归的思想方法，提高思维品质，发展应用意识。

情感目标：

1、通过概念的引入，让学生感受从特殊到一般的认知规律；

2、通过反例辨析和问题解决，培养合作交流、独立思考等良好的个性品质，以及勇于批判、敢于创新的科学精神。

三、重难点突破

“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念是本节的重点，这是由于本节课是由直观表象上升到抽象概念的过程，学生容易对定义中为什么要规定两个关系产生困惑，原因是不理解两者缺一都将扩大概念的外延。由于学生已经具备了用方程表示直线、抛物线等实际模型，积累了感性认识的基础，所以可用举反例的方法来解决困惑，通过反例揭示“两者缺一”与直觉的矛盾，从而又促使学生对概念表述的严密性进行探索，自然地得出定义。为了强化其认识，又决定用集合相等的概念来解释曲线和方程的对应关系，并以此为工具来分析实例，这将有助于学生的理解，有助于学生通其法，知其理。

怎样利用定义验证曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程是本节的难点。因为学生在作业中容易犯想当然的错误，通常在由已知曲线建立方程的时候，不验证方程的解为坐标的点在曲线上，就断然得出所求的是曲线方程。这种现象在高考中也屡见不鲜。为了突破难点，本节课设计了三种层次的问题，幻灯片9是概念的直接运用，幻灯片10是概念的逆向运用，幻灯片11是证明曲线的.方程。通过这些例题让学生再一次体会“二者”缺一不可。

四、学情分析

此前，学生已知，在建立了直角坐标系后平面内的点和有序实数对之间建立了一一对应关系，已有了用方程（有时以函数式的形式出现）表示曲线的感性认识（特别是二元一次方程表示直线），现在要进一步研究平面内的曲线和含有两个变数的方程之间的关系，是由直观表象上升到抽象概念的过程，对学生有相当大的难度。学生在学习时容易产生的问题是，不理解“曲线上的点的坐标都是方程的解”和“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”这两句话在揭示“曲线和方程”关系时各自所起的作用。本节课的教学目标也只能是初步领会，要求学生能答出曲线和方程间必须满足两个关系时才能称作“曲线的方程”和“方程的曲线”，两者缺一不可，并能借助实例指出两个关系的区别。

篇5：《椭圆标准方程》高中数学说课稿

一、教材分析

1、地位及作用

圆锥曲线是一个重要的几何模型，有许多几何性质，这些性质在日常生活、生产和科学技术中有着广泛的应用。同时，圆锥曲线也是体现数形结合思想的重要素材。

推导椭圆的标准方程的方法对双曲线、抛物线方程的推导具有直接的类比作用，为学习双曲线、抛物线内容提供了基本模式和理论基础。因此本节课具有承前启后的作用，是本章的重点内容。

2、教学内容与教材处理

椭圆的标准方程共两课时，第一课时所研究的是椭圆标准方程的建立及其简单运用，涉及的数学方法有观察、比较、归纳、猜想、推理验证等，我将以课堂教学的组织者、引导者、合作者的身份，组织学生动手实验、归纳猜想、推理验证，引导学生逐个突破难点，自主完成问题，使学生通过各种数学活动，掌握各种数学基本技能，初步学会从数学角度去观察事物和思考问题，产生学习数学的愿望和兴趣。

3、教学目标

根据教学大纲和学生已有的认知基础，我将本节课的教学目标确定如下：

1、知识目标

①建立直角坐标系，根据椭圆的定义建立椭圆的标准方程；

②能根据已知条件求椭圆的标准方程；

③进一步感受曲线方程的概念，了解建立曲线方程的基本方法，体会数形结合的数学思想。

2、能力目标

①让学生感知数学知识与实际生活的密切联系，培养解决实际问题的能力；

②培养学生的观察能力、归纳能力、探索发现能力；

③提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力。

3、情感目标

①亲身经历椭圆标准方程的获得过程，感受数学美的熏陶；

②通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨；

③养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度。

4、重点难点

基于以上分析，我将本课的教学重点、难点确定为：

①重点：感受建立曲线方程的基本过程，掌握椭圆的标准方程及其推导方法；

②难点：椭圆的标准方程的推导。

二、教法设计

在教法上，主要采用探究性教学法和启发式教学法。以启发、引导为主，采用设疑的形式，逐步让学生进行探究性的学习。探究性学习就是充分利用了青少年学生富有创造性和好奇心，敢想敢为，对新事物具有浓厚的兴趣的特点。让学生根据教学目标的要求和题目中的已知条件，自觉主动地创造性地去分析问题、讨论问题、解决问题。

三、学法设计

通过创设情境，充分调动学生已有的学习经验，让学生经历“观察――猜想――证明――应用”的过程，发现新的知识，把学生的潜意识状态的好奇心变为自觉求知的创新意识。又通过实际操作，使刚产生的数学知识得到完善，提高了学生动手动脑的能力和增强了研究探索的综合素质。

四、学情分析

1、能力分析

①学生已初步掌握用坐标法研究直线和圆的方程；

②对含有两个根式方程的化简能力薄弱。

2、认知分析

①学生已初步熟悉求曲线方程的基本步骤；

②学生已经掌握直线和圆的方程及圆锥曲线的概念，对曲线的方程的概念有一定的了解；

③学生已经初步掌握研究直线和圆的基本方法。

3、情感分析

学生具有积极的学习态度，强烈的探究欲望，能主动参与研究。

五、教学程序

从建构主义的角度来看，数学学习是指学生自己建构数学知识的活动，在数学活动过程中，学生与教材及教师产生交互作用，形成了数学知识、技能和能力，发展了情感态度和思维品质。基于这一理论，我把这一节课的教学程序分成六个步骤来进行，下面我向各位作详细说明：

篇6：《椭圆标准方程》高中数学说课稿

一、教学目标

（1）知识与能力目标：学习椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推

导过程；能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握用待定系数法求椭圆的标准方程。

（2）过程与方法目标：通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探

索能力；通过对椭圆标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，提高学生运用坐标法解决几何问题的能力，并渗透数形结合和等价转化的数学思想方法。

（3）情感、态度与价值观目标：通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识，培养学生勇于探索的精神和渗透辩证唯物主义的方法论和认识论。

二、教学重点、难点

（1）教学重点：椭圆的定义及椭圆标准方程，用待定系数法和定义法求曲线方程。

（2）教学难点：椭圆标准方程的建立和推导。

三、教学过程

（一）创设情境，引入概念

1、动画演示，描绘出椭圆轨迹图形。

2、实验演示。

思考：椭圆是满足什么条件的点的轨迹呢？

（二）实验探究，形成概念

1、动手实验：学生分组动手画出椭圆。

实验探究：

保持绳长不变，改变两个图钉之间的距离，画出的椭圆有什么变化？

思考：根据上面探究实践回答，椭圆是满足什么条件的点的轨迹？

2、概括椭圆定义

引导学生概括椭圆定义椭圆定义：平面内与两个定点距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫椭圆。

教师指出：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。

思考：焦点为的椭圆上任一点M，有什么性质？

令椭圆上任一点M，则有

（三）研讨探究，推导方程

1、知识回顾：利用坐标法求曲线方程的一般方法和步骤是什么？

2、研讨探究

问题：如图已知焦点为的椭圆，且=2c，对椭圆上任一点M，有

，尝试推导椭圆的方程。

思考：如何建立坐标系，使求出的方程更为简单？

将各组学生的讨论方案归纳起来评议，选定以下两种方案，由各组学生自己完成设点、列式、化简。

篇7：《椭圆标准方程》高中数学说课稿

按方案一建立坐标系，师生研讨探究得到椭圆标准方程

=1，其中b2=a2－c2（b>0）；

选定方案二建立坐标系，由学生完成方程化简过程，可得出=1，同样也有a2－c2=b2（b>0）。

教师指出：我们所得的两个方程=1和=1（）都是椭圆的标准方程。

（四）归纳概括，方程特征

1、观察椭圆图形及其标准方程，师生共同总结归纳

（1）椭圆标准方程对应的椭圆中心在原点，以焦点所在轴为坐标轴；

（2）椭圆标准方程形式：左边是两个分式的平方和，右边是1；

（3）椭圆标准方程中三个参数a，b，c关系：；

（4）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定；

（5）求椭圆标准方程时，可运用待定系数法求出a，b的值。

2、在归纳总结的基础上，填下表

标准方程

图形a，b，c关系焦点坐标焦点位置

在x轴上

在y轴上

（五）例题研讨，变式精析

例1、求适合下列条件的椭圆的标准方程

（1）两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点P到两焦点距离和等于10。

（2）两焦点坐标分别是，并且椭圆经过点。

例2、（1）若椭圆标准方程为及焦点坐标。

（2）若椭圆经过两点求椭圆标准方程。

（3）若椭圆的一个焦点是，则k的值为。

（A）（B）8（C）（D）32

例3、如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段，求线段中点M的轨迹。

（六）变式训练，探索创新

1、写出适合下列条件的椭圆标准方程

（1），焦点在x轴上；

（2）焦点在x轴上，焦距等于4，并且经过点P；

2、若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则k的范围。

3、已知B，C是两个定点，周长为16，求顶点A的轨迹方程。

4、已知椭圆的焦距相等，求实数m的值。

5、在椭圆上上求一点，使它与两个焦点连线互相垂直。

6、已知P是椭圆上一点，其中为其焦点且，求三解形面积。

（七）小结归纳，提高认识

师生共同归纳本节所学内容、知识规律以及所学的数学思想和方法。

（八）作业训练，巩固提高

课本第96页习题§8。1第3题、第5题、第6题。

课后思考题：

1、知是椭圆的两个焦点，AB是过的弦，则周长是。

（A）2a（B）4a（C）8a（D）2a2b

2、的两个顶点A，B的坐标分别是边AC，BC所在直线的斜

率之积等于，求顶点C的轨迹方程。

2、与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线？

教学设计说明

椭圆是圆锥曲线中重要的一种，本节内容的学习是后继学习其它圆锥曲线的基础，坐标法是解析几何中的重要数学方法，椭圆方程的推导是利用坐标法求曲线方程的很好应用实例。本节课内容的学习能很好地在课堂教学中展现新课程的理念，主要采用学生自主探究学习的方式，使培养学生的探索精神和创新能力的教学思想贯穿于本节课教学设计的始终。

椭圆是生活中常见的图形，通过实验演示，创设生动而直观的情境，使学生亲身体会椭圆与生活联系，有助于激发学生对椭圆知识的学习兴趣；在椭圆概念引入的过程中，改变了直接给出椭圆概念和动画画出椭圆的方式，而采用学生动手画椭圆并合作探究的学习方式，让学生亲身经历椭圆概念形成的数学化过程，有利于培养学生观察分析、抽象概括的能力。

椭圆方程的化简是学生从未经历的问题，方程的推导过程采用学生分组探究，师生共同研讨方程的化简和方程的特征，可以让学生主体参与椭圆方程建立的具体过程，使学生真正了解椭圆标准方程的来源，并在这种师生尝试探究、合作讨论的活动中，使学生体会成功的快乐，提高学生的数学探究能力，培养学生独立主动获取知识的能力。

设计例题、习题的研讨探究变式训练，是为了让学生能灵活地运用椭圆的知识解决问题，同时也是为了更好地调动、活跃学生的思维，发展学生数学思维能力，让学生在解决问题中发展学生的数学应用意识和创新能力，同时培养学生大胆实践、勇于探索的精神，开阔学生知识应用视野。

篇8：《椭圆标准方程》高中数学说课稿

一、教学目标:

知识与技能目标：准确理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及其推导。

过程与方法目标：通过引导学生亲自动手尝试画图、发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义，培养学生观察、辨析、归纳问题的能力。

情感、态度与价值观目标：通过经历椭圆方程的化简，增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美，通过讨论椭圆方程推导的等价性养成学生扎实严谨的科学态度。

二、教学重点、难点：

重点是椭圆的定义及标准方程,难点是推导椭圆的.标准方程。

三、教学过程：

教学环节

教学内容和形式

设计意图

复习

提问：

（1）圆的定义是什么?圆的标准方程的形式怎样？

（2）如何推导圆的标准方程呢？

激活学生已有的认知结构，为本课推导椭圆标准方程提供了方法与策略。

讲授新课

一、授新

1.椭圆的定义:（略）

活动过程:

操作-----交流-----归纳-----多媒体演示-----联系生活

形成概念:

操作：

<1>固定一条细绳的两端，用笔尖将细绳拉紧并运动，在纸上你得到了怎样的图形?

<2>如果调整、的相对位置，细绳的长度不变，猜想你的椭圆会发生怎样的变化?

在动手过程中，培养学生观察、辨析、归纳问题的能力。

在变化的过程中发现圆与椭圆的联系;建立起用联系与发展的观点看问题；为下一节深入研究方程系数的几何意义埋下伏笔。

教学环节

深化概念：

注：1、平面内。

2、若，则点P的轨迹为椭圆。

若，则点P的轨迹为线段。

若，则点P的轨迹不存在。

联系生活：

情境1.生活中，你见过哪些类似椭圆的图形或物体?

情境2.让学生观察倾斜的圆柱形水杯的水面边界线，并从中抽象出数学模型.(教师用多媒体演示)

情境3.观看天体运行的轨道图片。

教学内容和形式：

准确理解椭圆的定义。

渗透数学源于生活,圆锥曲线在生产和技术中有着广泛的应用。

设计意图：

2.椭圆的标准方程：

例：已知点、为椭圆的两个焦点，P为椭圆上的任意一点，且，其中，求椭圆的方程

活动过程：点拨-----板演-----点评

一般步骤：

(1)建系设点

(2)写出点的集合

(3)写出代数方程

(4)化简方程：

<1>请一位基础较好，书写规范的同学板演。

<2>教师在巡视过程中及时发现问题给予点拨。

（5）证明：讨论推导的等价性

掌握椭圆标准方程及推导方法。

培养学生战胜困难的意志品质并感受数学的简洁美、对称美。

养成学生扎实严谨的科学态度。

应用

举例

教学环节

二、应用

例1．(1)椭圆的焦点坐标为：

(2)椭圆的焦距为4,则m的值为：

活动过程：思考-----解答-----点评

例2．已知椭圆焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到两焦点的距离的和等于10，求椭圆的标准方程

活动过程：思考-----解答-----点评

变式<1>已知椭圆焦点的坐标分别是(-4,0)(4,0)，且经过点，求椭圆的标准方程。

活动过程：思考-----板演(对比)-----点评

教学内容和形式：

明确椭圆两种形式的标准方程。

运用椭圆的定义,掌握椭圆的标准方程。

运用椭圆的定义或待定系数法求椭圆的标准方程。

设计意图：

变式<2>已知椭圆经过点、,

求椭圆的标准方程

活动过程：思考-----解答-----点评

认清椭圆两种标准方程形式上的特征。

课堂小结：

提问：本节课学习的主要知识是什么?你学会了哪些数学思想与方法?

活动过程:教师提问-----学生小结-----师生补充完善。

让学生回顾本节所学知识与方法,以逐步提高学生自我获取知识的能力。

作业布置：

作业：教材第95页,练习2、4,第96页习题8-1,1、2、3、

探索：平面内到两个定点的距离差、积、商为定值的点的轨迹是否存在?若存在轨迹是什么?

分层次布置作业,帮助学生巩固所学知识；为学有余力的学生留有进一步探索、发展的空间。

四、板书设计

8.1椭圆及其标准方程

一、复习引入二、新课讲解三、习题研讨

1.椭圆的定义

2.椭圆的标准方程

总体说明：本节课的设计力图贯彻“以人的发展为本”的教育理念，体现“教师为主导，学生为主体”的现代教学思想。在对椭圆定义的讲授中，遵循从生动直观到抽象概括的教学原则和教学途径,通过引导学生亲自动手尝试画图、发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义，培养学生观察、辨析、归纳问题的能力；让椭圆生动灵活地呈现在学生面前，更有助于学生理解椭圆的内涵和外延。对本课另一难点标准方程推导的讲授中,在关键处设疑,以疑导思,让学生先从目的、再从方法上考虑,引导学生对比、分析，师生共同完成。通过经历椭圆方程的化简，增强了学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美.通过讨论椭圆方程推导的等价性养成学生扎实严谨的科学态度。设计的例题及变式练习，充分利用新知识解决问题,使所学内容得以巩固。变式(2)的设计让学生站在方程的角度认清椭圆两种标准方程形式上的特征，将学生的思维提升到了一个新的高度。课后分层次布置作业,帮助学生巩固所学知识；课后探索更为学有余力的学生留有进一步探索、发展的空间。在教学中借助多媒体生动、直观、形象的特点来突出教学重点。自始至终很好地调动学生的积极性，挖掘他们的内在潜能,提高学生的综合素质。

篇9：UG曲线方程

²表示有N种方法；¯表示用UG3.0可以实现，

¯双外摆线b=2.5l=2.5t=1xt=3*b*cos(t*360)+l*cos(3*t*360)yt=3*b*sin(t*360)+l*sin(3*t*360)¯星形线a=5t=1xt=a*(cos(360*t))^3yt=a*(sin(360*t))^3叶形线a=10t=1xt=3*a*t/(1+(t^3))yt=3*a*(t^2)/(1+(t^3))¯螺纹线²表示有N种方法；¯表示用UG3.0可以实现。¯双外摆线b=2.5l=2.5t=1xt=3*b*cos(t*360)+l*cos(3*t*360)yt=3*b*sin(t*360)+l*sin(3*t*360)¯星形线a=5t=1xt=a*(cos(360*t))^3yt=a*(sin(360*t))^3叶形线a=10t=1xt=3*a*t/(1+(t^3))yt=3*a*(t^2)/(1+(t^3))¯螺纹线t=1xt=4*cos(t*(5*360))yt=4*sin(t*(5*360))zt=6*t蛇形线²t=1xt=2*cos(t*360*3)*tyt=2*sin(t*360*3)*tzt=(sqrt(sqrt(sqrt(t))))^3*5²t=1theta=t*360*3zt=sqrt(t)*7²t=1rho=360*sqrt(t)*2theta=t*25phi=360*t*4¯双余弦线t=1xt=-(9.5*6.5)+t*(9.5*6.5*2)yt=cos(t*360*6.5)*(6.35/2)-(6.35/2)zt=cos(t*360*8)*5¯对数线t=1xt=10*tyt=log(10*t+0.0001)抛物线t=1xt=(4*t)yt=(3*t)+(5*t^2)¯勾形线t=1xt=(5*(cos(t*360))^3)*tyt=(5*(sin(t*360))^3)*t¯次声波t=1xt=t*5yt=cos(t*360*8)*t正弦波t=1xt=5*t*tyt=sin(t*8*360)*0.5渐开线pitch_diameter=10pressure_angle=20r=(pitch_diameter/2)*cos(pressure_angle)t=1xt=r*cos(90*t*t)+r*(90*t*t)*(pi/180)*sin(90*t*t)yt=r*sin(90*t*t)-r*(90*t*t)*(pi/180)*cos(90*t*t)普通外摆线r=10t=1xt=t*(2*pi*r)-sin(t*360)*ryt=r-cos(t*360)*r¯小飞机t=1xt=cos(t*360)+cos(3*t*360)yt=sin(t*360)+sin(5*t*360)¯弯月t=1xt=cos(t*360)+cos(2*t*360)yt=sin(t*360)*2+sin(t*360)*2¯五角形线t=1xt=2+(10-6)*cos(360*4*t)+10*cos((10/6-1)*(360*4*t))yt=2+(10-6)*sin(360*4*t)-6*sin((10/6-1)*(360*4*t))¯t=1xt=2+(10-6)*cos(360*4*t)+10*cos((10/6-1)*(360*4*t))yt=2+(10-6)*sin(360*4*t)-10*sin((10/6-1)*(360*4*t))¯t=1xt=2+(10-2)*cos(360*4*t)+10*cos((10/6-1)*(360*4*t))yt=2+(10-2)*sin(360*4*t)-10*sin((10/6-1)*(360*4*t))¯t=1xt=0.5+(10-6)*cos(360*5*t)+10*cos((6/10-1)*(360*5*t))yt=0.5+(10-6)*sin(360*5*t)-10*sin((6/10-1)*(360*5*t))热带鱼a=5t=1xt=(a*(cos(t*360*3))^4)*tyt=(a*(sin(t*360*3))^4)*t双蝴蝶线t=1theta=t*360+90r=cos(360*t*5)*3+0.5zt=cos(360*t*3)*3t=1theta=t*360+18r=cos(360*t*5)*0.75+3.5zt=cos(t*360*5)*0.4t=1theta=t*360-54r=cos(360*t*5)*0.5+2.5zt=cos(t*360*5+90)*0.5心电图t=1r=sin(t*360*2)+0.2theta=10+t*(6*360)zt=t*3¯燕尾剪t=1xt=3*cos(t*360*4)yt=3*sin(t*360*3)zt=tt=1r=t*2theta=10+t*(12*360)zt=t*3碟形线t=1r=10+10*sin(6*t*360)zt=2*sin(6*360*t)花篮t=1r=5zt=(sin(3.5*(t*720)-90))+2小兔兔t=1theta=t*360-90r=cos(360*(t/(1+t^(6.5*t)))*6*t)*3.5+5红十字t=1r=cos(360*t*4)*0.5+1theta=t*360+90心形线t=1r=10*(1+cos(t*360))t=1theta=t*360*4r=1+cos(t*360*5)t=1theta=t*360*5r=8+5*sin(t*360*5*5)*t太阳花t=1theta=-t*360+180r=cos(360*t/(1+t^8)*7)*3+6t=1theta=t*360r=cos(360*t*20)*0.5*t+1t=1theta=t*360*2r=cos(360*t*30)*0.5*t+2*tt=1theta=t*360*5r=cos(360*t*20)*0.5*t+1手掌t=1theta=t*360+180r=cos(360*t^3*6)*2+5t=1theta=t*360*4r=(cos(360*t*16)*0.5*t+1)*t天蚕丝t=1theta=t*3600r=(cos(360*t*20)*0.5*t+1)*t人民币t=1theta=-t*360+180r=cos(360*(t/(1+t^6))*6)*3+5t=1rho=360*t*10theta=360*t*20phi=360*t*5球面螺旋线t=1rho=4theta=t*180phi=t*360*12蝴蝶线t=1rho=8*ttheta=360*t*4phi=360*t*8t=1rho=3*ttheta=360*t*5phi=360*t*2.5t=1rho=8*ttheta=360*t*4phi=360*t*4

篇10：数学教案－曲线和方程

数学教案－曲线和方程

教学目标

（1）了解用坐标法研究几何问题的方法，了解解析几何的基本问题．

（2）理解曲线的方程、方程的曲线的概念，能根据曲线的已知条件求出曲线的方程，了解两条曲线交点的概念．

（3）通过曲线方程概念的教学，培养学生数与形相互联系、对立统一的辩证唯物主义观点．

（4）通过求曲线方程的教学，培养学生的转化能力和全面分析问题的能力，帮助学生理解解析几何的思想方法．

（5）进一步理解数形结合的思想方法．

教学建议

教材分析

（1）知识结构

曲线与方程是在初中轨迹概念和本章直线方程概念之后的解析几何的基本概念，在充分讨论曲线方程概念后，介绍了坐标法和解析几何的思想，以及解析几何的基本问题，即由曲线的已知条件，求曲线方程；通过方程，研究曲线的性质．曲线方程的概念和求曲线方程的问题又有内在的逻辑顺序．前者回答什么是曲线方程，后者解决如何求出曲线方程．至于用曲线方程研究曲线性质则更在其后，本节不予研究．因此，本节涉及曲线方程概念和求曲线方程两大基本问题．

（2）重点、难点分析

①本节内容教学的重点是使学生理解曲线方程概念和掌握求曲线方程方法，以及领悟坐标法和解析几何的思想．

②本节的难点是曲线方程的概念和求曲线方程的方法．

教法建议

（1）曲线方程的概念是解析几何的核心概念，也是基础概念，教学中应从直线方程概念和轨迹概念入手，通过简单的实例引出曲线的点集与方程的解集之间的对应关系，说明曲线与方程的对应关系．曲线与方程对应关系的基础是点与坐标的对应关系．注意强调曲线方程的完备性和纯粹性．

（2）可以结合已经学过的直线方程的知识帮助学生领会坐标法和解析几何的思想，学习解析几何的意义和要解决的问题，为学习求曲线的方程做好逻辑上的和心理上的准备．

（3）无论是判断、证明，还是求解曲线的方程，都要紧扣曲线方程的概念，即始终以是否满足概念中的两条为准则．

（4）从集合与对应的观点可以看得更清楚：

设  表示曲线  上适合某种条件的点  的集合；

表示二元方程的解对应的点的坐标的集合．

可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”和“方程的曲线”，即

（5）在学习求曲线方程的方法时，应从具体实例出发，引导学生从曲线的几何条件，一步步地、自然而然地过渡到代数方程(曲线的方程)，这个过渡是一个从几何向代数不断转化的过程，在这个过程中提醒学生注意转化是否为等价的，这将决定第五步如何做．同时教师不要生硬地给出或总结出求解步骤，应在充分分析实例的基础上让学生自然地获得．教学中对课本例2的解法分析很重要．

这五个步骤的实质是将产生曲线的几何条件逐步转化为代数方程，即

文字语言中的几何条件数学符号语言中的等式数学符号语言中含动点坐标 ， 的代数方程  简化了的  的代数方程

由此可见，曲线方程就是产生曲线的几何条件的一种表现形式，这个形式的特点是“含动点坐标的代数方程．”

（6）求曲线方程的问题是解析几何中一个基本的问题和长期的任务，不是一下子就彻底解决的，求解的方法是在不断的学习中掌握的，教学中要把握好“度”．

教学设计示例

课题：求曲线的方程（第一课时）

教学目标：

（1）了解坐标法和解析几何的意义，了解解析几何的基本问题．

（2）进一步理解曲线的方程和方程的曲线．

（3）初步掌握求曲线方程的方法．

（4）通过本节内容的.教学，培养学生分析问题和转化的能力．

教学重点、难点：求曲线的方程．

教学用具：计算机．

教学方法：启发引导法，讨论法．

教学过程（）：

【引入】

1．提问：什么是曲线的方程和方程的曲线．

学生思考并回答．教师强调．

2．坐标法和解析几何的意义、基本问题．

对于一个几何问题，在建立坐标系的基础上，用坐标表示点；用方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这一研究几何问题的方法称为坐标法，这门科学称为解析几何．解析几何的两大基本问题就是：

（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程．

（2）通过方程，研究平面曲线的性质．

事实上，在前边所学的直线方程的理论中也有这样两个基本问题．而且要先研究如何求出曲线方程，再研究如何用方程研究曲线．本节课就初步研究曲线方程的求法．

【问题】

如何根据已知条件，求出曲线的方程．

【实例分析】

例1：设  、  两点的坐标是  、（3，7），求线段  的垂直平分线 的方程．

首先由学生分析：根据直线方程的知识，运用点斜式即可解决．

解法一：易求线段 的中点坐标为（1，3），

由斜率关系可求得l的斜率为

于是有

即l的方程为

①

分析、引导：上述问题是我们早就学过的，用点斜式就可解决．可是，你们是否想过①恰好就是所求的吗？或者说①就是直线 的方程？根据是什么，有证明吗？

（通过教师引导，是学生意识到这是以前没有解决的问题，应该证明，证明的依据就是定义中的两条）．

证明：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解．

设  是线段  的垂直平分线上任意一点，则

即

将上式两边平方，整理得

这说明点 的坐标  是方程  的解．

（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．

设点  的坐标  是方程①的任意一解，则

到  、  的距离分别为

所以  ，即点  在直线 上．

综合（1）、（2），①是所求直线的方程．

至此，证明完毕．回顾上述内容我们会发现一个有趣的现象：在证明（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解中，设  是线段 的垂直平分线上任意一点，最后得到式子  ，如果去掉脚标，这不就是所求方程  吗？可见，这个证明过程就表明一种求解过程，下面试试看：

解法二：设  是线段 的垂直平分线上任意一点，也就是点 属于集合

由两点间的距离公式，点所适合的条件可表示为

将上式两边平方，整理得

果然成功，当然也不要忘了证明，即验证两条是否都满足．显然，求解过程就说明第一条是正确的（从这一点看，解法二也比解法一优越一些）；至于第二条上边已证．

这样我们就有两种求解方程的方法，而且解法二不借助直线方程的理论，又非常自然，还体现了曲线方程定义中点集与对应的思想．因此是个好方法．

让我们用这个方法试解如下问题：

例2：点 与两条互相垂直的直线的距离的积是常数  求点  的轨迹方程．

分析：这是一个纯粹的几何问题，连坐标系都没有．所以首先要建立坐标系，显然用已知中两条互相垂直的直线作坐标轴，建立直角坐标系．然后仿照例1中的解法进行求解．

求解过程略．

【概括总结】通过学生讨论，师生共同总结：

分析上面两个例题的求解过程，我们总结一下求解曲线方程的大体步骤：

首先应有坐标系；其次设曲线上任意一点；然后写出表示曲线的点集；再代入坐标；最后整理出方程，并证明或修正．说得更准确一点就是：

（1）建立适当的坐标系，用有序实数对例如  表示曲线上任意一点 的坐标；

（2）写出适合条件 的点  的集合

；

（3）用坐标表示条件  ，列出方程  ；

（4）化方程  为最简形式；

（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．

一般情况下，求解过程已表明曲线上的点的坐标都是方程的解；如果求解过程中的转化都是等价的，那么逆推回去就说明以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．所以，通常情况下证明可省略，不过特殊情况要说明．

上述五个步骤可简记为：建系设点；写出集合；列方程；化简；修正．

下面再看一个问题：

例3：已知一条曲线在 轴的上方，它上面的每一点到  点的距离减去它到 轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程．

【动画演示】用几何画板演示曲线生成的过程和形状，在运动变化的过程中寻找关系．

解：设点  是曲线上任意一点，  轴，垂足是  （如图2），那么点  属于集合

由距离公式，点  适合的条件可表示为

①

将①式 移项后再两边平方，得

化简得

由题意，曲线在 轴的上方，所以  ，虽然原点  的坐标（0，0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应为   ，它是关于 轴对称的抛物线，但不包括抛物线的顶点，如图2中所示．

【练习巩固】

题目：在正三角形 内有一动点 ，已知 到三个顶点的距离分别为  、  、  ，且有  ，求点 轨迹方程．

分析、略解：首先应建立坐标系，以正三角形一边所在的直线为一个坐标轴，这条边的垂直平分线为另一个轴，建立直角坐标系比较简单，如图3所示．设  、  的坐标为  、  ，则 的坐标为  ， 的坐标为  ．

根据条件  ，代入坐标可得

化简得

①

由于题目中要求点 在三角形内，所以 ，在结合①式可进一步求出 、 的范围，最后曲线方程可表示为

【小结】师生共同总结：

（1）解析几何研究研究问题的方法是什么？

（2）如何求曲线的方程？

（3）请对求解曲线方程的五个步骤进行评价．各步骤的作用，哪步重要，哪步应注意什么？

【作业】课本第72页练习1，2，3；

【板书设计】

§7．6 求曲线的方程

坐标法：

解析几何：

基本问题：

（1）

（2）

例1：

例2：

求曲线方程的步骤：

例3

练习：

小结：

作业：