平面向量基本定理教案

【简介】感谢网友“蕴斐嘉”参与投稿，以下是小编整理的平面向量基本定理教案（共16篇），欢迎阅读分享，希望对您有所帮助。

篇1：《平面向量基本定理》教案

《平面向量基本定理》教案

一、教学目标：

1.知识与技能：

了解平面向量基本定理及其意义, 理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示；能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表示。

2.过程与方法：

让学生经历平面向量基本定理的探索与发现的形成过程,体会由特殊到一般和数形结合的数学思想，初步掌握应用平面向量基本定理分解向量的方法，培养学生分析问题与解决问题的能力。

3.情感、态度和价值观

通过对平面向量基本定理的学习,激发学生的学习兴趣,调动学习积极性,增强学生向量的应用意识,并培养学生合作交流的意识及积极探索勇于发现的学习品质.

二、教学重点：平面向量基本定理.

三、教学难点：平面向量基本定理的'理解与应用.

四、教学方法：探究发现、讲练结合

五、授课类型：新授课

六、教 具：电子白板、黑板和课件

七、教学过程：

（一）情境引课，板书课题

由导弹的发射情境，引出物理中矢量的分解，进而探究我们数学中的向量是不是也可以沿两个不同方向的向量进行分解呢？

（二）复习铺路，渐进新课

在共线向量定理的复习中，自然地、渐进地融入到平面向量基本定理的师生互动合作的探究与发现中去，感受着从特殊到一般、分类讨论和数形结合的数学思想碰撞的火花，体验着学习的快乐。

（三）归纳总结，形成定理

让学生在发现学习的过程中归纳总结出平面向量基本定理，并给出基底的定义。

（四）反思定理，解读要点

反思平面向量基本定理的实质即向量分解，思考基底的不共线、不惟一和非零性及实数对

的存在性和唯一性。

（五）跟踪练习，反馈测试

及时跟踪练习，反馈测试定理的理解程度。

（六）讲练结合，巩固理解

即讲即练定理的应用，讲练结合，进一步巩固理解平面向量基本定理。

（七）夹角概念，顺势得出

不共线向量的不同方向的位置关系怎么表示，夹角概念顺势得出。然后数形结合，讲清本质：夹角共起点。再结合例题巩固加深。

（八）课堂小结，画龙点睛

回顾本节的学习过程，小结学习要点及数学思想方法，老师的“教 ”与学生的“学”浑然一体，一气呵成。

（九）作业布置，回味思考。

布置课后作业，检验教学效果。回味思考，更加理解定理的实质。

七、板书设计：

1.平面向量基本定理：如果

是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 ，有且只有一对实数

，使

.

2.基底：

(1) 不共线向量

叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2) 基底：不共线，不唯一，非零

(3) 基底给定，分解形式唯一，实数对

存在且唯一；

(4) 基底不同，分解形式不唯一，实数对

可同可异。

例1 例2

3.夹角

：

（1）两向量共起点；

（2）夹角范围：

例3

4.小结

5.作业

篇2：平面向量基本定理的教学反思

一、对于教学设计的反思

起初，我在教学方法上原来的设计是以教师为主导，平面向量基本定理的出现是由教师直接给出，在定理给出之后让学生观看例题板演然后练习巩固，可是这样就完全体现不出来新课程的数学教学理念，因为在新课程的理念中重点强调了，教师在进行数学教学时要充分考虑到数学学科的特点，针对不同水平、不同兴趣学生的学习需要，运用多种教学方法和手段引导学生积极主动的学习，掌握数学的基础知识和基本技能以及它们体现的数学思想方法，培养和发展应用意识和创新意识，对数学有较为全面的认识，提高数学素养，形成积极的情感态度，为未来发展和进一步学习打好基础。基于此，故而经过了推敲得出本节课的教学设计。

二、对于“新课引入”环节的反思

原设计：由向量的加法法则和数乘运算引入，教师提问，学生回答；然后直接给出问题：如果e1,e2是平面内的任意两个不共线的向量，那么平面内的任意向量a可以由这两个向量表示吗？这就是这节课要学习的问题。

新设计：在重新思考之后，在引入上完全是学生在动手做，通过复习向量的加法法则和数乘运算让学生回忆旧知并为新知识做好铺垫，并且这张作图纸的功能一直贯穿整节课的学习，也让学生从直观上得到平面向量基本定理的内容作准备。在学生复述了上述知识之后，让学生在方格纸上画出3e1,2e2，并画出3e1?2e2?a，让学生感知由e1,e2，通过数乘运算和向量的加法法则是可以表示出的，那么反过来已知a可以由e1,e2来表示吗？引出课题。

应用新的设计之后的好处是让学生能够很容易的进入到本节课的学习状态中来，因为学生很明白这节课学习的主要内容，这比原来的设计方案要更加的顺畅和细致，也更加符合学生的认知水平。

三、对于教学时间控制的反思

在教学中，作为老师的我常常想在这一节课中让学生能够完全掌握我所教的知识，同时也要考虑到课程的完整性，希望在各个方面都能够做到尽善尽美。我在回忆这节课的时间把握上，果真看出了一些问题，具体来说，第一：在开始的引入中对于学生作图的这一个环节上耗时太多，好多的学生已经能够很快的`做出图来，而我却只看那些作图较慢的同学，这里浪费了很多的时间，其实，归因来说，还是对学生学习能力的不了解，导致了在教学中的“以偏概全”；第二：在作课堂小结时，平面向量的基本定理已经得出没有必要在进行重复，我在这里处理的不当，请一位学生又复述了一遍定理的内容，如果时间还有富余的话，这样进行可能就没有问题，但是这时距离下课仅有两分钟，再有这样的环节就不是明智之选了，因此，拖堂了几分钟。

通过这次的经历，我的教学设计可以说已经不是三易其稿了，可能也有“四易或者五易”了，但是每经过一次这样的过程就感到自己确实又进步了一些。现在再回想准备的阶段和正式上课的时候所经历的困难和迷茫到最后的成竹在胸，就感到自己所付出的都是值得的。

篇3：《平面向量基本定理及坐标表示》评课稿

《平面向量基本定理及坐标表示》评课稿

《平面向量基本定理及坐标表示》是高中教学新课程必修4第二章《平面向量》中的内容，本课时安排的内容包含“平面向量基本定理”及“平面向量的正交分解及坐标表示”。

xx老师这节课的教学设计注重体现新课程理念，准确把握教学要求，并结合学生的实际，精心设计教学过程，收到了良好的教学效果，受到普遍好评。这节课主要有以下几个特点：

1、脉络清晰。

通过问题引领，实现了知识结构与认知结构的和谐统一这节课的教学，从平面向量共线定理的一维量化出发，到平面向量基本定理的二维量化，再到基底的特殊化，进而得到向量的坐标表示，整体脉络清晰。这样设计不仅符合学生的认知规律，而且充分展现了数学结构体系的严谨性和逻辑性，有助于学生领会数学思维的方式和方法，提高学生数学学习的能力。

“向量分解”是贯穿这节课的主线：从特殊向量在两个方向上的分解，到任意向量在两个方向上的分解，形成了平面向量基本定理。接下去，再由任意向量在两个特殊向量方向上的分解，有了向量的坐标表示，过程自然流畅。

在探究定理的过程中，设计了三个问题：

问题1： 设e平面内的两个不共线的向量，你能否作出该平面内的任一向量。

问题2： 将e类比。

问题3： 对于直角坐标平面内的`每一个向量，是否也有坐标表示呢？

逐步深入地展现思维过程，有利于学生的学习。

2、合理使用信息技术，整体优化教学过程，教学效果落实这节课在启发式讲授的同时，综合运用了探究学习与合作学习的教学方式。

在平面向量基本定理的教学中，结合教学目标以及学生的实际情况采用了小组合作学习与自主探究相结合的教学方式。对于问题1的处理，先由小组内每人任意选取方向、大小不同的向量进行分解，之后在组内交流，体验 “将任意向量在两个方向上分解”的多种情形，并获得初步结论，→仯幔溅耍保濉仯保λ2e→仯病＝幼磐ü质疑：λ1，λ2是否可以取到任意实数？让学生意识到实际操作的局限，借助几何画板课件来演示向量的任意情形，让学生直观感知对于平面内的任意向量都可以由e→仯保e→仯蚕咝员硎尽U庋的设计，让学生自主探究、小组合作学习，不仅有利于培养学生观察发现的能力，也体现了信息技术的作用。使得平面向量基本定理易于学生接受，既突出了重点，也突破了这节课的难点。

在向量的坐标表示的教学中，则以启发式讲授为主，通过教师的有效引导，使学生经历动手操作、类比归纳、抽象概括等一系列的学习活动，逐步形成对向量坐标表示的完整的认知。

3、设计内容详实，完整规范，充分体现了新课程理念和设计意图。

例如，教学设计中的“教学背景分析”，对教学内容、学生情况、教学方式、教学手段、技术准备等方面都做了详细的分析。特别是“教学反思”非常到位，不仅有对“教学整体设计”上的反思，同时有对“教学过程”的反思，还有对“个别教学环节”具体细致的反思。在每一点反思中都有深入的思考和改进的措施，详实具体，体现了教师科学的态度、深入的研究和敬业精神。这样做，既展现了校本教研的丰硕成果，也有利于教师的专业发展。

高中课程改革对教师提出了更高的要求，如何在有限的时间内完成教学任务，并对学生有效地进行能力和素质的培养，是需要广大教师深入研究的课题，孙枫老师《平面向量基本定理及坐标表示》一节课的教学设计进行了有益的探索。这节课的教学设计，在成功的教学实践中又伴随着更加深入的反思是值得提倡的，这样的精神和态度是值得称赞的。

篇4：平面向量基本定理与线性规划教学设计和反思

平面向量基本定理与线性规划教学设计和反思

【教材分析】

向量坐标化使平面向的学习代数化，难度降低了很多。但学生对平面向量基本定理的应用还是不太熟练，特别是由变量求范围问题，更是一头雾水。所以专门安排了这一节课来突破这个难点。

【学生分析】

经过了一轮复习的高三学生，对于向量的坐标运算、平面向量基本定理、和线性规划这些知识点的单独学习已经掌握得不错，但对于解决有范围或求最值时的平面向量基本定理的应用还是比较棘手，所以需要老师能够由浅人深地讲解突破。难度很高。

【学习目标】

理解平行四边形法则和线性规划

掌握平向量基本定理的应用

【教学策略】

特殊和一般的类比学习，线性规划解决最值范围问题的策略渗透

【教学过程】

【引题】

【例题】1.

2.已知点

,平面区域D是由所有的满足

的`点P(x,y)组成的区域，若区域D的面积为 8，则4a+b的最小值为 。

【练习】

1.已知向量

,设

。求动点P轨迹形成的图形的面积?

已知

中，AB=3,BC=4,AC=5，I是

的内心，P是

内部（不含边界）的动点，若

,则

的范围是 。

教学反思

总体来说本节课成功地完成了教学任务，突破了难点，学习了重点，教学效果良好。

但也有很多值得改进的地方，比如前面知识的讲解虽然效果不错，但也有时间的浪费，还可以省下5分钟，板书稍显混乱，可以耿耿整洁，这一点后来做得很好。

篇5：平面向量教案

平面向量教案

二、复习要求

1、向量的概念;

2、向量的线性运算:即向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积等的定义,运算律;

3、向量运算的运用

三、学习指导

1、向量是数形结合的典范。向量的几何表示法--有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的基础。在向量的运算过程中,借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释,有时甚至更简捷。

向量运算中的基本图形:①向量加减法则:三角形或平行四边形;②实数与向量乘积的几何意义--共线;③定比分点基本图形--起点相同的三个向量终点共线等。

2、向量的三种线性运算及运算的三种形式。

向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积都称为向量的线性运算,前两者的.结果是向量,两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式:图形、符号、坐标语言。

主要内容列表如下:

运 算 图形语言 符号语言 坐标语言

加法与减法

=

- =

记 =(x1,y1), =(x1,y2)

则 =(x1 x2,y1 y2)

- =(x2-x1,y2-y1) =

实数与向量

的乘积

=λ

λ∈r 记 第一文库网=(x,y)

则λ =(λx,λy) 两个向量

的数量积

・ =| || |

cos

记 =(x1,y1), =(x2,y2)

则 ・ =x1x2 y1y2

3、运算律

加法: = ,( ) = ( )

实数与向量的乘积:λ( )=λ λ ;(λ μ) =λ μ ,λ(μ )=

(λμ)

两个向量的数量积: ・ = ・ ;(λ )・ = ・(λ )=λ( ・ ),( )・ = ・ ・

说明:根据向量运算律可知,两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则,正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算,例如( ± )2=

4、重要定理、公式

(1)平面向量基本定理;如果 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于该平面内任一向量 ,有且只有一对数数λ1,λ2,满足 =λ1 λ2 ,称λ1 λ λ2 为 , 的线性组合。

根据平面向量基本定理,任一向量 与有序数对(λ1,λ2)一一对应,称(λ1,λ2)为 在基底{ , }下的坐标,当取{ , }为单位正交基底{ , }时定义(λ1,λ2)为向量 的平面直角坐标。

向量坐标与点坐标的关系:当向量起点在原点时,定义向量坐标为终点坐标,即若a(x,y),则 =(x,y);当向量起点不在原点时,向量 坐标为终点坐标减去起点坐标,即若a(x1,y1),b(x2,y2),则 =(x2-x1,y2-y1)

(2)两个向量平行的充要条件

符号语言:若 ∥ , ≠ ,则 =λ

坐标语言为:设 =(x1,y1), =(x2,y2),则 ∥ (x1,y1)=λ(x2,y2),即 ,或x1y2-x2y1=0

在这里,实数λ是唯一存在的,当 与 同向时,λ>0;当 与 异向时,λ

|λ|= ,λ的大小由 及 的大小确定。因此,当 , 确定时,λ的符号与大小就确定了。这就是实数乘向量中λ的几何意义。

(3)两个向量垂直的充要条件

符号语言: ⊥ ・ =0

坐标语言:设 =(x1,y1), =(x2,y2),则 ⊥ x1x2 y1y2=0

(4)线段定比分点公式

如图,设

则定比分点向量式:

定比分点坐标式:设p(x,y),p1(x1,y1),p2(x2,y2)

则

特例:当λ=1时,就得到中点公式:

,

实际上,对于起点相同,终点共线三个向量 , , (o与p1p2不共线),总有 =u v ,u v=1,即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量,且系数和为1。

篇6：高中数学平面向量教案

教学目的：

1 掌握平面向量数量积运算规律;

2 能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题;

3 掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题

教学重点：平面向量数量积及运算规律

教学难点：平面向量数量积的应用

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪

内容分析：

启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质 

教学过程：

一、复习引入：

1.两个非零向量夹角的概念

已知非零向量 与 ，作 = ， = ，则∠aob=θ(0≤θ≤π)叫 与 的夹角

2.平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角是θ，则数量| || |cos叫 与 的数量积，记作  ，即有  = | || |cos，

(0≤θ≤π) 并规定 与任何向量的数量积为0

3.“投影”的概念：作图

定义：| |cos叫做向量 在 方向上的投影

投影也是一个数量，不是向量;当为锐角时投影为正值;当为钝角时投影为负值;当为直角时投影为0;当 = 0时投影为 | |;当 = 180时投影为 | |

4.向量的数量积的几何意义：

数量积  等于 的长度与 在 方向上投影| |cos的乘积

5.两个向量的数量积的性质：

设 、为两个非零向量， 是与 同向的单位向量

1  =  =| |cos;2    = 0

3当 与 同向时，  = | || |;当 与 反向时，  = | || |

特别的  = | |2或

4cos = ;5|  | ≤ | || |

6.判断下列各题正确与否：

1若 = ，则对任一向量 ，有  = 0 ( √ )

2若  ，则对任一非零向量 ，有   0 ( × )

3若  ，  = 0，则 = ( × )

4若  = 0，则 、至少有一个为零 ( × )

5若  ，  =  ，则 = ( × )

6若  =  ，则 = 当且仅当  时成立 ( × )

7对任意向量 、、，有(  )  (  ) ( × )

8对任意向量 ，有 2 = | |2 ( √ )

篇7：高中数学平面向量教案

教学准备

教学目标

1.掌握平面向量的数量积及其几何意义;

2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律;

3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题;

4.掌握向量垂直的条件.

教学重难点

教学重点：平面向量的数量积定义

教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用

教学工具

投影仪

教学过程

一、复习引入：

1.向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ

五，课堂小结

(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到的主要数学思想方法有那些?

(2)在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。

(3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么?

六、课后作业

P107习题2.4A组2、7题

课后小结

(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到的主要数学思想方法有那些?

(2)在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。

(3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么?

课后习题

作业

P107习题2.4A组2、7题

板书

略

篇8：高中数学平面向量教案

第一教时

教材：向量

目的：要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量与已

知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等。

过程：

一、开场白：课本P93(略)

实例：老鼠由A向西北逃窜，猫在B问：猫能否追到老鼠?(画图)

结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。 AB

二、提出课题：平面向量

1.意义：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量

等

注意：1?数量与向量的区别：

数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大

小;

向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。

2?从19世纪末到20体系，用以研究空间性质。

2. 向量的表示方法： a B

1?几何表示法：点—射线 (终点)有向线段——具有一定方向的线段 A(起点)

记作(注意起讫)

2?字母表示法：可表示为(印刷时用黑体字)

P95 例用1cm表示5n mail(海里)

3. 模的概念：向量 记作：|| 模是可以比较大小的

4. 两个特殊的向量：

1?零向量——长度(模)为0的向量，记作。的方向是任意的。注意与0的区别

2?单位向量——长度(模)为1个单位长度的向量叫做单位向量。

例：温度有零上零下之分，“温度”是否向量?

答：不是。因为零上零下也只是大小之分。

例：与是否同一向量?

答：不是同一向量。

例：有几个单位向量?单位向量的大小是否相等?单位向量是否都相等? 答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。 三、向量间的关系：

1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

记作：∥∥

规定：与任一向量平行

2. 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 a 记作：=

规定：=

任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。 3. 共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ，

所以平行向量也叫共线向量。

OA=a OB=b OC=c

例：(P95)略

变式一：与向量长度相等的向量有多少个?(11个)

变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量?(存在) 变式三：与向量共线的向量有哪些?(,,)

四、小结：

五、作业：P96 练习习题5.1

第二教时

教材：向量的加法

目的：要求学生掌握向量加法的意义，并能运用三角形法则和平行四边形法则作

几个向量的和向量。能表述向量加法的交换律和结合律，并运用它进行向量计算。

过程：

六、复习：向量的定义以及有关概念

强调：1?向量是既有大小又有方向的量。长度相等、方向相同的向量相等。2?正因为如此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何

向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置。

七、提出课题：向量是否能进行运算?

5.某人从A到B，再从B按原方向到C，

A BC

则两次的位移和：??

6.若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，

则两次的位移和：AB?BC?AC

7.某车从A到B，再从B改变方向到C，

则两次的位移和：AB?BC?AC

8.船速为AB，水速为BC，

则两速度和：??

提出课题：向量的加法 A B三、1.定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。

注意：;两个向量的和仍旧是向量(简称和向量)

2.三角形法则： a b b

a+ a b a+b A A C A B B

B

1?“向量平移”(自由向量)：使前一个向量的终点为后一个向量的起

点

2?可以推广到n个向量连加

3

4?不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则

3.例一、已知向量、，求作向量+

作法：在平面内取一点，

作? ?

则?? O b

b AB C C 4.加法的交换律和平行四边形法则 B

上题中+的结果与+是否相同 验证结果相同

从而得到：1?向量加法的平行四边形法则

2?向量加法的交换律：+=+

9.向量加法的结合律：(+) +=+ (+)

证：如图：使?, ?, ?

a+c

则(+) +=??

+ (+) =??

∴(a+b) +c=a+ (b+c)

从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。

四、例二(P98—99)略

五、小结：1?向量加法的几何法则

2?交换律和结合律

3?注意：|+| >|| + ||不一定成立，因为共线向量不然。

六、作业：P99—100练习P102习题5.2 1—3

第三教时

教材：向量的减法

目的：要求学生掌握向量减法的意义与几何运算，并清楚向量减法与加法的关系。 过程：

八、复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则

向量加法的运算定律： 例：在四边形中，??? 解：CB?BA?BA?CB?BA?AD?CD

九、提出课题：向量的减法 A B

1.用“相反向量”定义向量的减法

1?“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量。记作 ?a 2?规定：零向量的相反向量仍是零向量(?a) = a

任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + (?a) = 0

如果a、b互为相反向量，则a = ?b, b = ?a, a + b = 0

3?向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。

即：a ? b = a + (?b)求两个向量差的运算叫做向量的减法。

2.用加法的逆运算定义向量的减法：

向量的减法是向量加法的逆运算：

若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a ? b

3.求作差向量：已知向量a、b，求作向量

∵(a?b) + b = a + (?b) + b = a + 0 = a

a 作法：在平面内取一点O， 作= a, = b

则= a ? b b b a?b

即a ? b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量。

注意：1?表示a ? b。强调：差向量“箭头”指向被减数

2?用“相反向量”定义法作差向量，a ? b = a + (?b)

显然，此法作图较繁，但最后作图可统一。

B’ ?b a

b A b

4.a∥b∥c B a ? b = a + (?b) a ? b

a?b O B A B’ O B

a?b O

A ?b B 十、例题： 例一、(P101 例三)已知向量a、b、c、

d，求作向量a?b、c?d。

解：在平面上取一点O，作= a, = b, = c, = d,

作, ,则= a?b, = c?d

A b C

B 例二、平行四边形中，，用表示向量，

解：由平行四边形法则得：

= a + b, = ? = a?b

变式一：当a, b满足什么条件时，a+b与a?b垂直?(|a| = |b|)

变式二：当a, b满足什么条件时，|a+b| = |a?b|?(a, b互相垂直)

变式三：a+b与a?b可能是相当向量吗?(不可能， 十一、小结：向量减法的定义、作图法|

十二、作业： P102 练习

P103习题5.2 4—8

第四教时

教材：向量、向量的加法、向量的减法综合练习《教学与测试》64、65、66课

篇9：高中数学平面向量教案

一、教学目标

(一)知识与能力

1.了解平面向量的概念;

2.学会平面向量的表示方法;

3.理解向量、零向量、相等向量的意义。

(二)过程与方法

用联系的方法、类比的观点研究向量。

(三)情感态度与价值观

使学生自然地实现概念的形成，培养学生的唯物辩证思想。

二、教学重难点

(一)教学重点

向量及其几何表示，相等向量、平行向量的概念。

(二)教学难点

向量的概念及对平行向量的理解。

三、教学过程

(一)引入

1.类比法：引入概念

师：在物理中，位移与距离是同一个概念吗?为什么? 在物理中，我们学到位移是既有大小、又有方向的量，像这种既有大小、又有方向的量叫做矢量。在数学中，把只有大小，没有方向的量叫数量，把既有大小、又有方向的量叫做向量。

2.联系法：激活学生的相关经验，加深印象

师：能否举出一些生活中既有大小又有方向的量?

(二)平面向量的表示方法

1.代数表示

一般印刷用黑体的小写英文字母(a、b、c等)来表示，手写用在a、b、c等字母上加一箭头(→)表示，如。

2.几何表示

向量可以用有向线段的起终点字母表示：。

3.坐标表示

在直角坐标系内，任取两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则向量AB=(x2-x1,y2-y1)，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。

(三)相关概念

1.向量的模

有向线段AB的长度叫做向量的模，记作|AB|。

2.单位向量

引入：用有向线段表示向量，大家所画线段长短不一是为什么呢?(由单位长度引入单位向量)

总结：模等于1个单位长度的向量叫做单位向量，通常用e表示。

3.零向量

长度等于0的向量叫做零向量，记作或0。

4.平行向量(共线向量)

两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量，零向量与任意向量平行，记作0//。

5.相等向量

设计活动：传花游戏(通过游戏调动兴趣，让学生体会相等向量的本质特征)

总结：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

本节是平面向量的第一堂课，属于“概念课”，概念的理解无疑是重点，也是难点。具体教学中，要设计一个能让学生领悟概念的过程，引导他们联系具体事例，体会概念的本质特征。要使学生意识到认识一个数学概念的基本思路，而不是停留在某个具体的概念学习上。

篇10：高中数学平面向量教案

平面向量

基本知识回顾：

1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向. 2.向量的表示方法：

????

①用有向线段表示-----AB(几何表示法);

??

②用字母a、b等表示(字母表示法);

③平面向量的坐标表示(坐标表示法)：

???

分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。任作一个向量a，由平

面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a?xi?yj，(x,y)叫做向量a的(直角)坐标，记作a?(x,y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标， 特

?

???

别地，i?(1,0)，j?(0,1)，0?(0,0)。a?

?

??

?

A(x1,y1)，B(x2,y2)，则

AB?

?x2?x1,y2?y1?，

AB?

3.零向量、单位向量：

①长度为0的向量叫零向量，记为0;

②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.就是单位向量)

4.平行向量：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;

?

②我们规定0与任一向量平行.向量a、b、c平行，记作a∥b∥c.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.

???

0,b与a同向方向---?

?性质：a//b(b?0)?a??b(?是唯一)????0,b与a反向 ???

长度---|a|??b??

??

a//b(b?0)?x1y2?x2y1?0 (其中 a?(x1,y1),b?(x2,y2))

5.相等向量和垂直向量：

①相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

?

②垂直向量——两向量的夹角为??

2

性质：a?b?a?b?0

a?b?x1x2?y1y2?0 (其中 a?(x1,y1),b?(x2,y2))

6.向量的加法、减法：

①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。平行四边形法则：

AC?a?b(起点相同的两向量相加，常要构造平行四边形)

DB?a?b

?加法???首尾相连

三角形法则?

?减法???终点相连,方向指向被减数

???

——加法法则的推广： ABn?AB1?B1B2????Bn?1Bn

即n个向量a1,a2,??an首尾相连成一个封闭图形，则有a1?a2????an?0 ??

②向量的减法向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。即：a ?b= a+ (?b); ??

??

差向量的意义： OA= a, OB=b, 则BA=a? b

????

③平面向量的坐标运算：若a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，则a?b?(x1?x2,y1?y2)，???

a?b?(x1?x2,y1?y2)，?a?(?x,?y)。

④向量加法的交换律：a+b=b+a;向量加法的结合律：(a+b) +c=a+ (b+c) ⑤常用结论：

????1??

(1)若AD?(AB?AC)，则D是AB的中点

2

?

(2)或G是△ABC的重心，则GA?GB?GC?0

7.向量的模：

1、定义：向量的大小，记为 |a| 或 |AB|

2、模的求法：

?

?

若 a?(x,y)，则 |a|?

????

若A(x1,y1),B(x2,y2)， 则 |AB|?

3、性质：

??2??2

(1)|a|?a; |a|?b(b?0)?|a|2?b2 (实数与向量的转化关系)

????

2

(2)a?b?|a|?|b|2，反之不然

(3(于:高中平面向量教学设计))三角不等式：|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|

(4)|a?b|?|a||b| (当且仅当a,b共线时取“=”)

即当a,b同向时 ，a?b?|a||b|; 即当a,b同反向时 ，a?b??|a||b|

(5)平行四边形四条边的平方和等于其对角线的平方和，

222

即2|a|?2|b|?|a?b|?|a?b|2

8.实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa (1)|λa|=|λ||a|;

(2)λ>0时λa与a方向相同;λ<0时λa与a方向相反;λ=0时λa=0; ?

??

(3)运算定律 λ(μa)=(λμ)a，(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb

交换律：a?b?b?a;

分配律：(a?b)?c?a?c?b?c

(?a)2b=?(a2b)=a2(?b);

——①不满足结合律：即(a?b)?c?a?(b?c)

?2

a

②向量没有除法运算。如：a?b?c?b?a?c，?

a?b

?a

都是错误的 b

??

(4)已知两个非零向量a,b，它们的夹角为?，则 ????

a?b =|a||b|cos?

坐标运算：a?(x1,y1),b?(x2,y2)，则a?b?x1x2?y1y2

(5)向量AB?a在轴l上的投影为：

????

︱a︱cos?， (?为a与n的夹角，n为l的方向向量)

???a?n?n

?(为n的单位向量)

|n||n|

其投影的长为AB

//

????

(6)a与b的夹角?和a?b的关系：

????

(1)当??0时，a与b同向;当???时，a与b反向

?a?b?0?a?b?0

(2)?为锐角时，则有???; ?为钝角时，则有??? ??

???a,b不共线?a,b不共线

9.向量共线定理：

???

向量b与非零向量a共线(也是平行)的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b=

λa。

10.平面向量基本定理：

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2。

(1)不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (2)基底不惟一，关键是不共线;

(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解;

(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量。

向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x，y)，则OA=(x,y);当向量起点不在原点时，向量AB坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB=(x2-x1,y2-y1) 11. 向量a和b的数量积。

篇11：高中数学《平面向量》的教案

第一教时

教材：

向量

目的：

要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量与已知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等。

过程：

一、开场白：本P93（略）

实例：老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，

问：猫能否追到老鼠？（画图）

结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。

二、提出题：平面向量

1．意义：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量等

注意：1数量与向量的区别：

数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；

向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。

2从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。

2．向量的表示方法：

1几何表示法：点―射线

有向线段――具有一定方向的线段

有向线段的三要素：起点、方向、长度

记作（注意起讫）

2字母表示法： 可表示为 （印刷时用黑体字）

P95 例 用1cm表示5n mail（海里）

3．模的概念：向量 的大小――长度称为向量的模。

记作： 模是可以比较大小的

4．两个特殊的向量：

1零向量――长度（模）为0的向量，记作 。 的方向是任意的。

注意 与0的区别

2单位向量――长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。

例：温度有零上零下之分，“温度”是否向量？

答：不是。因为零上零下也只是大小之分。

例： 与 是否同一向量？

答：不是同一向量。

例：有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？

答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。

三、向量间的关系：

1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

记作： ∥ ∥

规定： 与任一向量平行

2．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

记作： =

规定： =

任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。

3．共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ，

所以平行向量也叫共线向量。

例：（P95）略

变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）

变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）

变式三：与向量共线的向量有哪些？（ ）

四、小结：

五、作业：

P96 练习习题5.1

篇12：高中数学《平面向量》的教案

目的：

通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件，平面向量的基本定理有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。

过程：

一、复习：

1．实数与向量的积(强调：“模”与“方向”两点)

2．三个运算定律（结合律，第一分配律，第二分配律）

3．向量共线的充要条件

4．平面向量的基本定理（定理的本身及其实质）

二、例题

1．当λZ时，验证：λ(+)=λ+λ

证：当λ=0时，左边=0(+)=右边=0+0=分配律成立

当λ为正整数时，令λ=n,则有：

n(+)=(+)+(+)+…+(+)

=++…+++++…+=n+n

即λ为正整数时，分配律成立

当为负整数时，令λ=n（n为正整数），有：

n(+)=n[(+)]=n[+()]=n()+n()=n+(n)=nn

分配律仍成立

综上所述，当λ为整数时，λ(+)=λ+λ恒成立。

2．1kg的重物在两根细绳的支持下，处于平衡状态（如图），已知两细绳与水平线分别成30,60角，问两细绳各受到多大的力？

解：将重力在两根细绳方向上分解，两细绳间夹角为90

1(kg)P1OP=60P2OP=30

∴cos60=1=0.5(kg)

cos30=1=0.87(kg)

即两根细绳上承受的拉力分别为0.5kg和0.87kg。

篇13：高中数学《平面向量》的教案

本章内容介绍

向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系.

向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景.在本章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，学习这个平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题.

本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，并说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的一些基本概念. （让学生对整章有个初步的'、全面的了解.）

第1课时

2.1平面向量的实际背景及基本概念

教学目标：

1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.

2. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.

3. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量. 教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.

学法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念. 教具：多媒体或实物投影仪，尺规

授课类型：新授课

教学思路：

一、情景设置：

如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问：猫能否

追到老鼠？（画图）

结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.

分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、C B D

有长短的量.

引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？

二、新课学习：

（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量

（二）请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片）

1、数量与向量有何区别？

2、如何表示向量？

3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？

4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？

5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？

6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？

7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？

（三）探究学习

1、数量与向量的区别：

数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；

向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.

2.向量的表示方法：

①用有向线段表示；

②用字母a、b

（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB； ④向量AB的大小DD长度称为向量的模，记作|AB|.

3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.

向量与有向线段的区别：

（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；

（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.

4、零向量、单位向量概念：

①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的.

注意0与0的含义与书写区别.

②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. a A(起点) B （终点）

说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.

5、平行向量定义：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.

说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量a、b、c平行，记作a∥b∥c.

6、相等向量定义：

长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

说明：（1）向量a与b相等，记作a＝b；（2）零向量与零向量相等；

（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有．．

向线段的起点无关。

7、共线向量与平行向量关系：

平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的。起点无关）。

说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；

（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

（四）理解和巩固：

例1 书本86页例1.

例2判断：

（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）

（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）

（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）

（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）

（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）

（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）

（7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）

例3下列命题正确的是（ ）

A.a与b共线，b与c共线，则a与c也共线

B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形

的四顶点

C.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量

D.有相同起点的两个非零向量不平行

解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若a与b不都是非零向量，即a与b至少有一个是零向量，

而由零向量与任一向量都

共线，可有a与b共线，不符合已知条件，所以有a与b都是非零向量，所以应选C. 例4 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量OA、OB、OC相等的向量.

变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）

变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在） 变式三：与向量共线的向量有哪些？（CB,DO,FE）

课堂练习：

1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由. ①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；

②单位向量都相等；

③任一向量与它的相反向量不相等；

④四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB＝DC

⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；

⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.

解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB、AC在同一直线上.

②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.

③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正确.如图AC与BC共线，虽起点不同，但其终点却相

2．书本88页练习

三、小结 ：

1、描述向量的两个指标：模和方向.

2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.

3、向量的图示，要标上箭头和始点、终点.

四、课后作业：

书本88页习题2.1第3、5题

同.

第2课时

2.2.1 向量的加法运算及其几何意义

教学目标：

1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；

2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；

3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；

教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点：理解向量加法的定义.

学法：

数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律.

教具：多媒体或实物投影仪，尺规

授课类型：新授课

教学思路：

一、设置情景：

1、复习：向量的定义以及有关概念

强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置

2、情景设置：

（1）某人从A到B，再从B按原方向到C，

则两次的位移和：AB?BC?AC

（2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，

则两次的位移和：AB?BC?AC

（3）某车从A到B，再从B改变方向到C，

则两次的位移和：AB?BC?AC AB

C

（4）船速为AB，水速为BC，则两速度和：AB?BC?AC

二、探索研究：

1、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. A B C AB C

篇14：高中数学竞赛辅导教案平面向量

高中数学竞赛辅导教案平面向量

资源名称：高中数学竞赛辅导教案平面向量 资源分类：高中其它教案 定义1 既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的`。零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。 定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。 定理1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。

篇15：高中数学平面向量的数量积教案

一、教学内容分析

1、教学主要内容

(1)平面向量数量积及其几何意义

(2)用平面向量处理有关长度、角度、直垂问题

2、教材编写特点

本节是必修4第二章第3节的内容，在教材中起到层上启下的作用。

3、教学内容的核心教学思想

用数量积求夹角，距离及平面向量数量积的坐标运算，渗透化归思想以及数形结合思想。

4、我的思考

本节数学的目标为让学生掌握平面向量数量积的定义，及应用平面向量数量积的定义处理相关夹角距离及垂直的问题。因此，让学生们学会把数学问题转化到图形中，及能在图形中把图形转化成相关的数学问题尤其重要。

二、学生分析

1、在学平面向量的数量积之前，学习已经认识并会找向量的夹角，及用坐标表示向量的知识。因此，对于a·b=∣b∣︳a︴cosθ(θ=)，容易进行相应的简单计算，但对于理解这个式子上存在一定的问题，因此，需把a·b=∣a∣∣b∣ cosθ转化到图形

a·b=∣OM∣·∣OB∣=∣b∣cosθ∣a∣

即a·b=∣a∣∣b∣cosθ理解并记忆。

对于cosθ= ，等的变形应用，同学们甚感兴趣。

2、我的思考

对于基础薄弱的学生而言，学习本节知识，在处理例题成练习上，计算量不易过大。

三、学习目标

1、知识与技能

(1)掌握平面向量数量积及其几何意义。

(2)平面向量数量积的应用。

2、过程与方法

通过学生小组探究学习，讨论并得出结论。

3、情感态度与价值观

培养学生运算推理的能力。

四、教学活动

内容 师生互动 设计意图 时间 1、课题引入 师：请同学请回忆我们所学过的相关同里的运算。

生：加法、减法，数乘

师：这些运算所得的结果是数还是向量。

生：向量。

师：今天我们来学习一种有关向量的新的运输，数里积(板书课题) 由旧知引出新知，让学生知道我们学习是层层深入，知识永不止境，从而把学生引入到新的课程学习中来。 3min 2、平面向里的数量积定义 师：平面向星数量积(内积或点积)的定义：

已知两个非零向星a·b，它们的夹角是θ，则数量∣a∣·∣b∣cosθ叫a与b的数量积，记作a·b，即a·b=∣a∣∣b∣cosθ，注：①a·b≠a×b≠ab

②O与任何向量的数里积为O。 直接给出定义，可以让学习对新知识的求知数得到满足，并对新知识的探究有一个方向性。 5min 3、几何意义 师：同学们猜想

a·b=∣a∣∣b∣cosQ

用图怎么表示

生：a·b=∣a∣·∣b∣cosθ

=∣OM∣·∣OB∣

师：数里积a·b等于a的长度与b在a方向上的投影∣b∣cosθ的面积。

师：请同学们讨论数量积且有哪些性质

通过自己画图培养学生把问题转化到图形上，到图形上解决问题的能力。

5min 性 质 师：同学们a·b为非零向果，a·b=∣a∣·∣b∣cosθ。当θ=0°，90°，180°时，a·b有什么性质呢。

生：①当θ=90°时

a·b= a·b=∣a∣·∣b∣cosθ

②当a与b同向时

即θ= 0° ，则a·b=∣ a∣·∣b∣

当a与b反向时，

即θ= 180°，则a·b=∣ a∣·∣b∣

特别a·a=∣ a∣2 成 ∣ a∣= a·a

③∣a∣·∣b∣≤∣ a∣ ∣b∣

学生自己的探究性质，体会并深入理解向里数量的运算性质。 8min 生：①a·b= b·a(交换)

②(λa)·b=λ (a·b)

篇16：高中数学平面向量的数量积教案

教材分析：

前面已学习了向量的概念及向量的线性运算，这里引入一种新的向量运算——向量的数量积。教科书以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，既使向量数量积运算与学生已有知识建立了联系，又使学生看到向量数量积与向量模的大小及夹角有关，同时与前面的向量运算不同，其计算结果不是向量而是数量。

在定义了数量积的概念后，进一步探究了两个向量夹角对数量积符号的影响;然后由投影的概念得出了数量积的几何意义;并由数量积的定义推导出一些数量积的重要性质;最后“探究”研究了运算律。

教学目标：

(一)知识与技能

1.掌握数量积的定义、重要性质及运算律;

2.能应用数量积的重要性质及运算律解决问题;

3.了解用平面向量数量积可以解决长度、角度、垂直共线等问题，为下节课灵活运用平面向量数量积解决问题打好基础。

(二)过程与方法

以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，从数与形两方面引导学生对向量数量积定义进行探究，通过例题分析，使学生明确向量的数量积与数的乘法的联系与区别。

(三)情感、态度与价值观

创设适当的问题情境，从物理学中“功”这个概念引入课题，开始就激发学生的学习兴趣，让学生容易切入课题，培养学生用数学的意识，加强数学与其它学科及生活实践的联系。

教学重点：

1.平面向量的数量积的定义;

2.用平面向量的数量积表示向量的模及向量的夹角。

教学难点：

平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用。

教学方法：

启发引导式

教学过程：

(一)提出问题，引入新课

前面我们学习了平面向量的线性运算，包括向量的加法、减法、以及数乘运算，它们的运算结果都是向量，既然两个向量可以进行加法、减法运算，我们自然会提出：两个向量是否能进行“乘法”运算呢?如果能，运算结果又是什么呢?

这让我们联想到物理中“功”的概念，即如果一个物体在力F的作用下产生位移s，F与s的夹角是θ，那么力F所做的功如何计算呢?

我们知道：W=|F||s|cosθ，

功是一个标量(数量)，而力它等于力F和位移s都是矢量(向量)，功等于力和位移这两个向量的大小与它们夹角余弦的乘积。这给我们一种启示：能否把功W看成是两向量F和s的一种运算的结果呢，为此我们引入平面向量的数量积。

(二)讲授新课

今天我们就来学习：(板书课题)

2.4平面向量的数量积

一、向量数量积的定义

1.已知两个非零向量 与 ，我们把数量| || |cosθ叫做 与 的数量积(或内积)，记作 ，即 =| || |cosθ ， 其中 θ是 与 的夹角。

2.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即 =0

注意：

(1)符号“ ”在向量运算中既不能省略，也不能用“×”代替。

(2) 是 与 的夹角，范围是0≤θ≤π，(再找两向量夹角时，若两向量起点不同，必须通过平移，把起点移到同一点，再找夹角)。

(3)两个向量的数量积是一个数量，而不是向量。而且这个数量的大小与两个向量的模及其夹角有关。

(4)两非零向量 与 的数量积 的符号由夹角θ决定：

cosθ

= cosθ = 0

cosθ

前面我们学习了向量的加法、减法及数乘运算，他们都有明确的几何意义，那么向量的数量积的几何意义是什么呢?

二、数量积的几何意义

1.“投影”的概念：已知两个非零向量 与 ，θ是 与 的夹角，| |cos( 叫做向量 在 方向上的投影

思考：投影是向量，还是数量?

根据投影的定义，投影当然算数量，可能为正，可能为负，还可能为0

|(为锐角 (为钝角 (为直角

| |cos( | |cos( | |cos(=0

当(为锐角时投影为正值;当(为钝角时投影为负值;当(为直角时投影为0;当( = 0(时投影为 | |;当( = 180(时投影为 (| |

思考： 在 方向上的投影是什么，并作图表示

2.数量积的几何意义：数量积 等于 的长度| |与 在 方向上投影| |cos(的乘积，也等于 的长度| |与 在 方向上的投影| |cos(的乘积。

根据数量积的定义，可以推出一些结论，我们把它们作为数量积的重要性质

三、数量积的重要性质

设 与 都是非零向量，θ是 与 的夹角